В этой статье вы узнаете о том, как решать все 12 типов задач на движение из 21 задания ОГЭ по математике.
Задачи как обычно взяты из открытого банка заданий ОГЭ. Обо всех задачах 21 задания (на проценты, движение по воде, растворы и др.) можно почитать здесь.
Разбор
Тип 1
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Пусть x км/ч – скорость второго велосипедиста. тогда x + 10 км/ч – скорость первого велосипедиста.
60 км – путь, который проехали оба велосипедиста.
Время первого велосипедиста - 60 / (x + 10) ч, время второго – 60 / x ч.
Для удобства можно заносить эти значения в таблицу.
Составим уравнение. Первый велосипедист прибыл к финишу раньше второго на 3 часа, значит, время второго велосипедиста = времени первого велосипедиста + 3 часа.
Решим уравнение.
Вернёмся к вопросу задачи. Необходимо найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Эту скорость мы обозначили за x км/ч. x = - 20 не подходит (скорость не может быть отрицательной), следовательно, ответ 10 км/ч.
Ответ: скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 10 км/ч.
Тип 2
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.
Пусть x км/ч – скорость велосипедиста на пути из А в В, тогда x + 8 км/ч – скорость на пути из В в А.
209 км – расстояние, которое проехал велосипедист на пути из А в В и обратно.
Время, затраченное на путь из А в В – 209 / x ч, время, затраченное на обратный путь – 209 / (x + 8) ч.
Составим уравнение. На обратном пути велосипедист сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на этот путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Значит, время на пути из А в В = время на пути из В в А + 8 часов.
Решим уравнение.
Вернёмся к вопросу задачи. Необходимо найти скорость велосипедиста на пути из В в А. Эту скорость мы обозначили за x + 8 км/ч, следовательно, она равна 11 + 8 = 19 км/ч. x = -19 не подходит, так как -19 + 8 = -11, а скорость не может быть отрицательной.
Ответ: скорость велосипедиста на пути из В в А равна 19 км/ч.
Тип 3
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
Пусть x км/ч – скорость велосипедиста на пути из А в В, тогда x + 5 км/ч – скорость на пути из В в А.
180 км – расстояние, которое проехал велосипедист на пути из А в В и обратно.
Время, затраченное на путь из А в В – 180 / x ч, время, затраченное на обратный путь – 180 / (x + 5).
Составим уравнение. На обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Значит время на пути из А в В = времени на пути из В в А + 3 часа.
Решим уравнение.
Вернёмся к формулировке задачи. Необходимо найти скорость велосипедиста на пути из А в В. Эту скорость мы обозначили за х км/ч, значит она равна 15 км/ч.
Ответ: скорость велосипедиста на пути из А в В равна 15 км/ч.
Тип 4
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.
Пусть x км/ч – скорость первого бегуна, тогда x + 11 км/ч – скорость второго бегуна.
Второй бегун пробежал круг за 1 ч – 20 мин = 40 минут или 2/3 ч.
Тогда длина круга будет равна 2/3 ч * (x + 11) км/ч.
Первый бегун за час пробежал путь, равный 1 ч * х км/ч.
Если к этому пути прибавить 4 км, то получится длина одного круга.
Составим уравнение, в левой и правой частях которого будут выражения длины круга.
Решим уравнение.
Вернёмся к формулировке задачи. Необходимо найти скорость первого бегуна. Эту скорость мы обозначили за x км/ч, следовательно, она равна 10 км/ч.
Ответ: скорость первого бегуна равна 10 км/ч.
Тип 5
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Занесём в таблицу скорости.
Пусть x км – путь первого велосипедиста до места. Тогда 286 – x – путь второго.
Выразим время первого x / 10 ч и время второго (286 – x) / 30 ч.
Составим уравнение. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Значит время второго = время первого + 28 минут.
Решим уравнение.
Вернёмся к формулировке задачи. Необходимо определить расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи. Это расстояние мы обозначили за 286 - x км = 286 - 68 = 218 км.
Ответ: расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи равна 218 км.
Тип 6
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Скорость сближения поезда и пешехода равна разности из скоростей, т.к. они двигаются в одном направлении.
Скорость сближения = 86 км/ч – 6 км/ч = 80 км/ч.
Способ 1. Переведём время из секунд в часы и, умножив его на скорость, найдём путь, то есть длину поезда.
Ответ: длина поезда равна 400 метров.
Способ 2. Переведём скорость из км/ч в м/с и, умножив её на время, найдём путь, то есть длину поезда.
Ответ: длина поезда равна 400 метров
Тип 7
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Скорость сближения поезда и пешехода равна сумме из скоростей, т.к. они двигаются навстречу друг другу.
Скорость сближения = 57 км/ч + 3 км/ч = 60 км/ч.
Способ 1. Переведём время из секунд в часы и, умножив его на скорость, найдём путь, то есть длину поезда.
Ответ: длина поезда равна 600 метров.
Способ 2. Переведём скорость из км/ч в м/с и, умножив её на время, найдём путь, то есть длину поезда.
Ответ: длина поезда равна 600 метров
Тип 8
Первые 330 км автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 150 км — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Чтобы найти среднюю скорость, нужно весь путь разделить на всё время
Найдём время на каждом участке пути.
На первом:
На втором и третьем аналогично:
Общий путь = 330 км + 105 км + 150 км = 585 км. Общее время = 3 ч + 3 ч + 3 ч = 9 ч. Отсюда средняя скорость равна 585 км / 9 ч = 65 км / ч.
Ответ: средняя скорость на протяжении всего пути равна 65 км/ч.
Тип 9
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Пусть первая половина пути S км, тогда вторая также S км, а весь путь 2S км.
Найдём время на первой и второй половинах пути.
Затем вычислим среднюю скорость.
Ответ: средняя скорость на протяжении всего пути равна 52,8 км/ч.
Тип 10
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
Пусть первая половина пути S км, тогда вторая также S км, а весь путь 2S км.
Пусть скорость первого автомобиля x км/ч, тогда его время равно 2S / x ч.
Время второго автомобиля на первой половине пути равно S / 78 ч, а на второй S / (x + 7) ч.
Составим уравнение. Автомобили прибыли вместе, то есть затратили одинаковое время. Значит время первого = времени второго.
Решим уравнение.
Вернёмся к формулировке задачи. Необходимо найти скорость первого автомобиля. Эту скорость мы обозначили за x км/ч, следовательно, она равна 84 км/ч.
Ответ: скорость первого автомобиля равна 84 км/ч.
Тип 11
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 16 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 60 км/ч.
Пусть первая половина пути S км, тогда вторая также S км, а весь путь 2S км.
Пусть скорость первого автомобиля x км/ч, тогда его время равно 2S / x ч.
Время второго автомобиля на первой половине пути равно S / (x – 16) ч, а на второй S / 96 ч.
Составим уравнение. Автомобили прибыли вместе, то есть затратили одинаковое время. Значит время первого = времени второго.
Решим уравнение.
Вернёмся к формулировке задачи. Необходимо найти скорость первого автомобиля. Эту скорость мы обозначили за x км/ч, следовательно, она равна 64 км/ч.
Ответ: скорость первого автомобиля равна 64 км/ч.
Тип 12
Два автомобиля одновременно отправляются в 600-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Пусть x км/ч – скорость второго автомобиля. тогда x + 20 км/ч – скорость первого автомобиля.
600 км – путь, который проехали оба автомобиля.
Время первого автомобиля – 600 / (x + 20) ч, время второго – 600 / x ч.
Составим уравнение. Первый автомобиль прибывает к финишу на час раньше второго. Значит время второго = время первого + 1 час.
Решим уравнение
Вернёмся к формулировке задачи. Необходимо найти скорость первого автомобиля. Эту скорость мы обозначили за x + 20 км/ч, следовательно, она равна 100 + 20 км/ч = 120 км/ч.
Ответ: скорость первого автомобиля равна 120 км/ч.
Спасибо за прочтение
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал, ставьте лайк и оставляйте свой комментарий. Буду рада ответить на все вопросы!