Обычная задача по геометрии. Дан прямоугольный треугольник: гипотенуза – 10 см, высота – 6 см. Найти площадь. Вы мгновенно вспоминаете формулу за 7 класс «половина основания умножить на высоту» и считаете: 10 ÷ 2 × 6 = 30. Кажется, всё просто. Но что, если я скажу, что этот ответ неверный и мало того, этот треугольник не может существовать в нашем мире? Как так? В чём ловушка? Давайте разбираться вместе.
Почему ответ «30» – это ловушка?
Итак, нам дан прямоугольный треугольник: гипотенуза – 10 см, высота – 6 см. Нужно найти его площадь, которая (как Вы уже поняли) не равняется 30 кв.см. Но почему?
Чтобы понять почему так происходит, вспомним два ключевых факта о прямоугольном треугольнике:
- Медиана проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, т.е. 10 : 2 = 5 (см). Это теорема 7 класса.
- Гипотенуза всегда длиннее любого катета. Это следует из теоремы Пифагора – иначе треугольник просто «не сойдётся».
Другими словами, медиана не может быть равна 6 см, если основание треугольника (гипотенуза) равняется 10 см.
Но... в условии задачи черным по белому написано, что BD = 6 см. Тогда. Пойдем от противного.
Ровно посередине гипотенузы ставим точку F и от неё проводим в вершину В (у которой угол АВС является прямым) – медиану. Исходя из теоремы мы уверены, что провели именно медиану равной 5 см.
Видим, что исходный треугольник делится на два маленьких прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из них:
- его гипотенуза – это половина исходной гипотенузы, то есть 5 см (ведь высота падает на гипотенузу, а медиана делит её пополам);
- один из катетов – это сама высота, то есть 6 см.
Получается абсурд: катет (6 см) длиннее гипотенузы (5 см). Такого в евклидовой геометрии быть не может! Значит, исходный треугольник с такими параметрами невозможен. Такого треугольника не может быть априори.
Да и сам чертёж не может существовать, так как на чертеже ясно видно, что проведенная новая медиана в 5 см, больше чем изначальная высота в 6 см.
Ответ задачи: такого прямоугольного треугольника не существует!
А если всё-таки высота равна 6 см?
Если попытаться «втиснуть» высоту 6 см при гипотенузе 10 см, математика выдаст мнимое число – то есть решение уйдёт в область комплексных чисел. А в реальном мире треугольника с такими параметрами просто нет.
Говорят, эта задача была в американском выпускном экзамене (аналог нашего ЕГЭ). Школьники честно писали ответ «30», а проверяющие его засчитывали. Лишь через несколько лет, когда эта задача попалась на глаза русским (советским) математикам, была обнаружена ошибка в условии! Наши доказали несостоятельность самой задачи – и эту задачу срочно изъяли.
Составители из США просто не проверили, возможен ли такой треугольник. Это отличный урок: даже профессионалы иногда забывают проверить саму постановку задачи!
Вместо заключения
Эта задача учит нас важному принципу: прежде чем решать – убедитесь, что задача корректна. В учебниках нам часто подают «идеальные» условия, где всё сходится. Но в реальной жизни (особенно на олимпиадах!) встречаются и задачи с ловушками. Умение замечать такие ловушки – признак настоящего математического мышления.
Кстати, если убрать слово «прямоугольный» и заменить «гипотенуза» на «сторона», тогда треугольник с основанием 10 и высотой 6 прекрасно существует – и его площадь действительно 30 😁😁😁
А вы сталкивались с похожими «коварными» задачами?
Возможно, Вам будет интересно:
Благодарю, что дочитали до конца. Лайк – лучшее спасибо мне, как автору!