Разделим 1 на 3 и получим 0,333…Теперь умножаем обратно: 0,333… × 3 = 0,999… А куда делась единица? Вы ведь уверены, что 0,999… это чуть меньше единицы, правильно? А математика говорит: «Нет, это и есть 1». Что вы чувствуете? Сомнение? Раздражение? Желание поспорить? Отлично! Значит, вы на пути к пониманию одного из самых удивительных (и часто недооценённых) математических понятий. Итак, почему бесконечное число 0,999… не меньше единицы, а это и есть единица? Давайте разбираться вместе.
Внимание, в данной статье мы рассматриваем периодические числа с позиции арифметики, алгебры или матанализа!
Почему 0,999… кажется меньше единицы?
На первый взгляд, это вроде бы очевидно: 0,999… выглядит как число, которое чуть-чуть не дотягивает до 1. У него девятки тянутся бесконечно, но вроде бы не хватает самого последнего «шажка», чтобы стать полноценной единицей.
Мы все знаем, что если разделить число на другое, а потом умножить его на полученное, то ответом будет первоначальное число:
Если 10 : 5 = 2 , то 2 х 5 =10
Всё же верно? А теперь:
Если 1 : 3 = 0,33333... , то 0,33333... х 3 = 0,99999...
Значит 0,99999... = 1
Логично? Ну да, вроде бы.
Но... в голове всё равно остаётся ощущение, что нас обманывают. Что эта запись – не совсем настоящая единица. И это чувство правильно: мы действительно говорим не о привычных конечных числах, а о чём-то глубже – о пределах.
Что значит бесконечная десятичная дробь?
Когда вы видите число, скажем, 1,2345 – вы понимаете, что это:
1 + 0,2 + 0,03 + 0,004 + 0,0005
Ну, здесь всё понятно: каждая цифра после запятой – это всё более мелкие доли.
Но... всё становится запутаннее, когда цифры после запятой не заканчиваются. Например, 0,99999999... это:
0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... до бесконечности.
Это не одно число, а целая последовательность приближений. Каждое следующее число чуть ближе к 1, но не превышает его. Так вот, когда мы пишем 0,999…, мы имеем в виду не что-то недосказанное, а чётко определённое математическое понятие: предел этой последовательности.
А что такое предел? Это значение, к которому бесконечно стремится последовательность. Если члены ряда становятся всё ближе и ближе к какому-то числу (и никогда от него не отклоняются), то мы говорим, что последовательность имеет предел, и он равен этому числу.
Получается, что у бесконечной десятичной дроби 0,99999… предел равен единице. Именно поэтому математики утверждают, что:
0,99999… = 1
Это не фокус, не уловка, и уж точно не ошибка. Это результат строго определённого математического подхода.
А как же быть с интуицией?
Вот здесь и кроется главная причина споров. Мы привыкли думать, что числа – это их записи. И что 0,99999… «немного меньше», чем 1,0. Но в реальности запись числа – это всего лишь способ его представления. Например:
- 1 и 1,0000000000 – это одно и то же число
- 0,9999999999… – это другой способ записать 1
Мы сталкиваемся не с математической проблемой, а с проблемой восприятия. Нам кажется, что цифры – это сами числа. Но в математике всё иначе: число – это абстрактная сущность, а запись – всего лишь соглашение.
Так что да, 0,999… действительно равно 1. Потому что оно построено как предел, потому что математически это строго доказано, и потому что число – это не его внешний вид, а смысл, который за ним стоит.
Р.S. Внимание, в данной статье мы рассматриваем периодические числа с позиции арифметики, алгебры или матанализа!
Вместо заключения
Так что нас математика не обманывает и не запутывает. Споры о равенстве 0,999… и 1 не говорят о проблемах математики. Они говорят о том, насколько сложно нам, простым людям, принять, что разные записи могут означать одно и то же. Это как два слова на разных языках, обозначающие одну вещь.
А вот ещё какие каверзные числа есть у математики:
А как вы к этому относитесь к тому, что 0,999… = 1 – как к странной математической уловке или как к неоспоримому логическому факту?
Благодарю, что дочитали до конца. Лайк – лучшее спасибо мне, как автору!