1. Первая замечательная точка – точка, в которой пересекаются все три биссектрисы треугольника.
Точка пересечения биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной в треугольник окружности.
Это значит, что если нужно вписать в треугольник окружность (а это можно сделать всегда), то, чтобы найти ее центр, нужно построить хотя бы две биссектрисы. Точка их пересечения как раз и будет центром искомой окружности.
Как построить отрезок, являющийся радиусом вписанной окружности?
Для этого нужно построить перпендикуляр к одной из сторон треугольника так, чтобы он проходил через точку пересечения биссектрис.
НН1 – радиус вписанной окружности, перпендикулярный стороне АС.
Таким образом, отрезок, проведенный из точки пересечения биссектрис к стороне треугольника и перпендикулярный этой стороне, является радиусом вписанной в треугольник окружности.
Чтобы это доказать, нужно вспомнить теорему о том, что
любая точка, принадлежащая биссектрисе угла, равноудалена от прямых, содержащих стороны этого угла.
Напомним, что расстоянием от точки до прямой называется перпендикуляр, проведенный из этой точке к данной прямой.
Итак, если точка Н принадлежит биссектрисе АА1, то ее расстояние до сторон угла АВ и АС одинаковое, т.е. НН2 = НН1.
С другой стороны, рассмотрим биссектрису ВВ1 угла АВС. Точка Н также принадлежит этой биссектрисе ВВ1, а значит, равноудалена от сторон угла АВС и, следовательно, НН2 = НН3.
Получаем, что НН1 = НН2 = НН3 = радиусу вписанной окружности, т.е. r.
2. Вторая замечательная точка – точка, в которой пересекаются серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника.
На всякий случай напомним, что серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника – это не высоты!
Серединный перпендикуляр, проведенный к отрезку – это прямая, проходящая через середину отрезка и пересекающая его под прямым углом.
Любая точка, принадлежащая серединному перпендикуляру, проведенному к отрезку, равноудалена от концов данного отрезка.
АН = ВН, прямая «a» перпендикулярна отрезку АВ, поэтому прямая а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Любая точка М, лежащая на прямой a равноудалена от концов отрезка АВ, т.е. АМ = ВМ.
Точка пересечения серединных перпендикуляров совпадает с центром описанной около треугольника окружности.
ОН1, ОН2 и ОН3 – серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника АВС, поскольку эти отрезки перпендикулярны сторонам и делят их на равные отрезки, т.е. АН3 = ВН3, ВН1 = СН1, АН2 = СН2.
Точка О – точка пересечения серединных перпендикуляров, является центром описанной около треугольника окружности.
Чтобы это доказать, нужно рассмотреть треугольники АОВ, ВОС и СОВ.
Поскольку отрезки ОН3, ОН2 и ОН2 являются для этих треугольников и высотами и медианами, то данные треугольники АОВ, ВОС и СОВ оказываются равнобедренными. Таким образом, например, в треугольнике АОВ АО = ВО, а в треугольнике ВОС ВО = СО. Так, получается, что АО = ВО = СО.
Эти три отрезка, равные по длине и исходящие из одной точки, оказываются радиусами окружности с центром в точке О, которая касается всех вершин треугольника АВС.
3. Третья точка – точка, в которой пересекаются высоты треугольника или их продолжения.
Заметим, что в любом треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке.
В остроугольном треугольнике точка пересечения высот находится внутри треугольника, в прямоугольном – совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном – находится вне плоскости треугольника.
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентр.
АА1, ВВ1 и СС1 – высоты треугольника, Н – точка их пересечения.
Выполняется следующее равенство:
Для доказательства рассмотрим равные углы, отмеченные на рисунке одинаковыми цветами. Данные углы равны между собой попарно, т.к. являются вертикальными.
Также напомним, что и косинусы, и синусы и даже тангенсы равных углов также равны. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла 1, например, это отношение сторон НС1 к НВ, т.е. НС1/НВ.
Поскольку углы 1 и 4 равны, то
Аналогично доказывается и для других отрезков.
4. Четвертая точка – точка, в которой пересекаются медианы треугольника.
Медианы, как и высоты, и биссектрисы и серединные перпендикуляры, пересекаются в одной точке.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Для доказательства построим отрезок М1М2, который будет средней линией для треугольника АВС. Средняя линяя всегда в два раза меньше основания, параллельно которому она проведена. В данном случае это основание АВ, поэтому АВ = 2*М1М2, т.е. АВ:М1М2 = 2:1.
С другой стороны отрезок М1М2 является стороной треугольника М1М2М, который подобен треугольнику АВМ (угол АМВ = углу М2ММ1, 1=2, 3=4 – как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и М1М2).
В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны, т.е.