Перед нами олимпиадная задача :
Точка М лежит внутри треугольника АВС, а точка N - на отрезке СМ. Оказалось, что ∠BMC = 2∠BAC, ∠ANC = 2∠ABC. Найдите отрезок AN, если ВМ = 17, MN = 8, a AB = BC.
Давайте начнем с "дано" и рисунка, заодно подумаем в процессе построения над ходом решения.
Мы не знаем, где именно точка M и это нужно иметь ввиду на случай, если захочется "на глаз" найти равные треугольники или углы. Пользуемся только математическими подсчетами, теоремами и признаками. Результат может оказаться очень неожиданным.
Обозначим имеющиеся углы за x, 2x, y и 2y. Да, я знаю, что разные углы отмечаются разным количеством дуг и x с y не могут быть одной дугой, но я компенсировала это недоразумение разными цветами.
Далее я экспериментировала с различными построениями, искала изо всех сил равные треугольники. Идея была провести AM и исследовать пары ΔABM и ΔBMC, ΔABM и ΔBMC и так далее. Прикинув и попробовав досчитать пришлось сдаться. Однако как-то перед сном (да, я много думала об этой задаче...) меня осенило искать смежные углы. Итак, представляю вашему вниманию детище это идеи:
Ниже мы разбили y на α+β для простоты восприятия и поиска равных углов.
В глаза бросаются равные углы α, а также 2x... Пробуем вытащить из этого хоть что-то.
Выходит, что равными были углы, которые по нашему рисунку таковыми не выглядели. Это логично, ведь мы не знали, где именно находится буква M. Такие дела! До встречи!
