Для современного физ-мат.обывателя "логическая история", о которой я хочу рассказать, началась в далеком 1900 году на 2-ом Международном конгрессе математиков.
Главным событием II Конгресса стал программный доклад Давида Гильберта, сделанный 8 августа 1900 года на заседании 5-й и 6-й секций. Доклад носил скромное название «Математические проблемы», но в нём Гильберт перечислил наиболее насущные и важнейшие, по его мнению, проблемы математики. Математический мир принял этот вызов, и в течение века большинство проблем были так или иначе решены.
Ой, какой же он был замечательный, этот самый то ли еврей, то ли немец, Давид Гильберт (цитирую из Википедии):
Дави́д Ги́льберт (нем. David Hilbert; 23 января 1862 — 14 февраля 1943) — немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. Член многих академий наук, в том числе Берлинской, Гёттингенской, Лондонского королевского общества, иностранный почётный член Академии наук СССР (1934). Лауреат премии имени Н. И. Лобачевского (1903). В 1910—1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков.
Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики. Наиболее известны его первая полная аксиоматика евклидовой геометрии и теория гильбертовых пространств, одна из основ современного функционального анализа. Он внёс значительный вклад в теорию инвариантов, общую алгебру, математическую физику, интегральные уравнения и основания математики.
ВОТ ТАКИМ ЭТОТ САМЫЙ, ТО ЛИ ЕВРЕЙ, ТО ЛИ НЕМЕЦ ДАВИД ГИЛЬБЕРТ, КАК ОКАЗЫВАЕТСЯ БЫЛ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫМ!!!
Пунктом 2 в списке Гильберта проблем математики стоял пункт "Непротиворечивости аксиом арифметики".
И что в этом плохого??? - Ничего плохого в этом, определенно, мы не видим!!!
---------------------------------------------------------
Но всего через 30 лет произошло непоправимое (цитата из Википедии).
Ещё в начале XX века Давид Гильберт провозгласил цель аксиоматизировать всю математику, и для завершения этой задачи оставалось доказать непротиворечивость и логическую полноту арифметики натуральных чисел. 7 сентября 1930 года в Кёнигсберге проходил научный конгресс по основаниям математики, и на этом конгрессе 24-летний Курт Гёдель впервые обнародовал две фундаментальные теоремы о неполноте, показавшие, что программа Гильберта не может быть реализована: при любом выборе аксиом арифметики существуют теоремы, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть простыми (финитными) средствами, предусмотренными Гильбертом, а финитное доказательство непротиворечивости арифметики невозможно.
Так была разрушена до основания вера в логическую правоту математики, и вера в саму возможность логического обоснования математических действий.
На фоне строгой и стройной математической структуры математики, выстроенной к этому времени, теоремы Гёделя выглядели примерно так, как выглядел "шедевр" архитектуры под названием "Большое дерьмо №4", недавно выставленное в городе-герое Москве на фоне храма Христа спасителя.
Как говорится: "За что боролись — на то и напоролись." Что естественно — то небезобразно.
Самое удивительное, что все восхищались и продолжают восхищаться этими "шедеврами" математической и архитектурной гениальности и их "творителями", совершенно не интересуясь логической и смысловой составляющими этих "творений". Каких только эпитетов не удостаиваются создатели этих уродств. Они и гениальные, и заслуженные, и члены многих академий, и многое другое.
В действительности все эти творения человеческого "разума", хотим мы этого, или нет, отбрасывают нас на несколько тысячелетий назад, когда лучшим украшением древнегреческих и древнеримских городов были человеческие распятия, а математика и математическая религия ВЕЛИКОГО ПИФАГОРА была ЗАПРЕЩЕНА ПОД СТРАХОМ СМЕРТНОЙ КАЗНИ!!!
Каким же образом мат.логика, призванная быть самой совершенной и стройной из наук, в одночасье превратилась в гнилое безумное болото глиняных чудовищ, в смердящий на всю науку отстойник человеческой мысли???
ДАВАЙТЕ ПОПРОБУЕМ ВО ВСЕМ ЭТОМ РАЗОБРАТЬСЯ!
ИСТОРИЯ ПОВТОРЯЕТСЯ...
Научная история, произошедшая с Гильбертом и Гёделем во многом повторяет историю с ВЕЛИКИМ ПИФАГОРОМ, которая произошла в VI веке до н.э.. Как говорится: - "История повторяется дважды Первый раз — в виде ТРАГЕДИИ. Второй раз — в виде ФАРСА!!!"
КЕМ БЫЛ ПИФАГОР, И ЗА ЧТО ЕГО КАЗНИЛИ???
Чтобы понять роль Пифагора в истории, нам следует учитывать историческую и религиозную обстановку того времени.
Что мы наблюдаем в VI веке до н.э.
С одной стороны мы наблюдаем оголтелое египетское религиозное сообщество, которое пытается реализовать идею "РЕЛИГИЯ БЕЗ ГРАНИЦ".
С другой стороны мы наблюдаем безудержное стремление раздробленных государств средиземноморья к созданию огромных многонациональных империй.
Вначале Великая Греция стремится захватить побережье и острова Средиземного моря, и создать по всему побережью города-государства подконтрольные Греции.
С другой стороны, египетская религия стремительно меняет свои очертания, и стремится распространить свое влияние на все Средиземноморье.
В таких условиях ситуация Пифагора чрезвычайно сложная.
С одной стороны Пифагор, вроде как, египетский жрец, но не получивший право на обучение и преподавание (из-за войны, и пленения).
С другой стороны Пифагор ничего больше не умеет, и не хочет делать.
Несмотря на запреты, Пифагор, по возвращении из плена на родину (на о. Самос) создает жреческую школу по образу и подобию египетской, в самой отдаленной и необитаемой части острова Самос.
Пифагор искренне верил, что жреческая инквизиция там его не достанет.
Но зря он так думал.
Очень скоро он получает письмо от своего друга и учителя Анаксимандра из Милета, что инквизиция его активно ищет, и скоро нагрянет к нему в гости. Поэтому Пифагор спешно бежит в Кротон, на южную оконечность Италии.
В то время Кротон греческая колония. И в Кротоне находится самая большая популяция беженцев с о.Самос (более 2000 семей). И Пифагор наивно полагал что в Кротоне жреческая инквизиция не осмелится его трогать.
Но все вышло не так, как предполагал Пифагор.
Египетские жрецы были далеко не столь наивны, чтобы просто казнить Пифагора. Они прекрасно понимали, что убив Пифагора они не убьют его религию. Напротив. Религия от этой сакральной жертвы станет еще сильнее и еще крепче.
ЧТО ЖЕ СДЕЛАЛИ ЕГИПЕТСКИЕ ЖРЕЦЫ, ЧТОБЫ УНИЧТОЖИТЬ ПИФАГОРА И ЕГО РЕЛИГИЮ???
Жрецы поступили очень хитро, и обдуманно.
1. Вначале они обнародовали доказательство нерациональности числа "корень из 2". Это позволило им объявить религию Пифагора ложной, и самого Пифагора объявить шарлатаном и мошенником.
2. Затем они спровоцировали военный конфликт между Кротоном и Сибарисом (соседним городом) В этой войне победил Кротон.
3 Затем они вызвали недовольство коренной части горожан Кротона правлением Пифагора и его сторонников в городе.
4. Закончилась эта история тем, что недовольные граждане Кротона заперли всех пифагорейцев в их собственной церкви и сожгли!!!
НО НА ЭТОМ ИСТОРИЯ С ПИФАГОРЕЙЦАМИ НЕ ЗАКОНЧИЛАСЬ!!!
После этого жреческая инквизиция распространила сплетни и слухи на всей территории средиземноморья, и пифагорейцев начали отлавливать и уничтожать повсеместно. Поэтому пифагорейцы вынуждены были массово бежать в Малую Азию.
Сама ЧИСЛОВАЯ МАТЕМАТИКА И РЕЛИГИЯ Пифагора были объявлены еретической наукой, а занятия математикой оказались под запретом под страхом смертной казни.
ВОТ ТАК ЧИСЛОВАЯ МАТЕМАТИКА И РЕЛИГИЯ ПИФАГОРА ПРЕКРАТИЛА СВОЕ ЛЕГАЛЬНОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ!!!
Поэтому можно сказать, что Давид Гильберт, в своей истории "непротиворечивости аксиом арифметики", очень легко отделался, хотя и "обделался" основательно.
СВЯТО МЕСТО ПУСТО НЕ БЫВАЕТ...
Что же произошло дальше в этой загадочной и таинственной истории о пифагористах?
Прежде всего нам следует обратить внимание на тот факт, что гонения и казни пифагористов по времени совпали с вавилонским пленением евреев в Малой Азии.
В результате на территории Малой Азии нелегально объединились еврейская религия однобожия и пифагорейская религия, создав противовес господствовавшей в то время на всей территории средиземноморья языческой религии. Примкнула к ним и уже практически уничтоженная к этому времени египетская религия с ее идеей "религии без границ".
Так появилась на территории Малой Азии "религия нового типа", которая оформилась в дальнейшем в виде христианской и мусульманской религий.
Религиозными центрами этих религий стали всем известные 7 церквей Апокалипсиса
Одновременно с этим развивались и светские, нерелигиозные направления математики Пифагора. В частности, в Александрии Евклид основал математическую школу, и для учеников написал свой фундаментальный труд под названием "Элементы" ("Начала"). Жил Евклид примерно в 325-265 годах до н.э.
Почти одновременно с Евклидом, в Афинах, на противоположном берегу Средиземного моря, Аристотель (384-322 до н.э.) пишет "Органон" фундаментальный труд по логике.
Именно эти две работы и призваны были устранить противоречия математики Пифагора. Но сделать им это так и не удалось.
Разумеется нас будет больше всего интересовать "Органон".
УЧЕНИЕ АРИСТОТЕЛЯ О КАТЕГОРИЯХ.
ПРОБЛЕМА ПОНЯТИЯ В ЛОГИКЕ АРИСТОТЕЛЯ
Первый издатель сочинений Аристотеля, перипатетик Андроник Родосский (I в. до н. э.), издал логические сочинения своего учителя под общим названием «Органон» ('Όργανον — орудие, инструмент, в данном контексте — «инструмент мысли»). В «Органон» вошло пять логических трактатов, а именно: «Категории» (Κατηγορία*), где описываются самые общие значения, в которых мы можем говорить о бытии, а соответственно самые общие предикаты, которые могут быть высказаны в любом объекте мысли. Затем небольшой трактат по теории суждений, дошедший до нас под
титулом «Об истолковании» (ΙΙερΙ έρ;χηνείας) (иногда его называют также герменевтикой), «Первая и вторая аналитики» ('Αναλυτικά πρότερα και υστέρα), основной целью которых является рассмотрение доказательства и доказывающей науки, наконец, «Топика» (Τοπικά) или «сочинение по
диалектике» и тесно связанный с «Топикой» небольшой трактат «О софистических опровержениях» (Σοφιστικοί έλεγχοι). (Р.К.Луканин. "Органон Аристотеля").
Важным также будет отметить следующее:
Уже в древней Греции, точнее, в эллинистический период ее истории (III в. до н. э.— I в. н. э.), т. е. тогда, когда начался процесс формализации науки и ее методов, родился исторически длительный спор по проблеме соотношения логики и философии. Сам же «Органон» своим названием как бы устанавливал взгляд, согласно которому логика представляет собою только инструмент философии и не образует ее органической части. Так думали ученики и последователи Аристотеля — перипатетики. Логику Аристотеля они называли органоном, или орудием философии, полагая, что
она как прикладная дисциплина не может быть частью философии, ибо всякая практическая дисциплина якобы ниже теоретической и не может входить в ее состав.
Против этого мнения выступили стоики, которые теоретическую философию подчиняли задачам нравственного
воспитания людей, формированию у них идеала житейской
мудрости и в этой связи не противопоставляли друг другу
логику и философию. Они считали логику частью философии.
Промежуточную позицию между ними занимали платоники, считавшие
логику одновременно и органоном, и частью философии.
Я здесь буду придерживаться позиции перипатетиков и, как следствие этого, ЛОГИКУ я буду считать ИНСТРУМЕНТОМ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ДЕЙСТВИЙ НАД КАТЕГОРИЯМИ,
Напомню, в связи с этим, что термин ФИЛОСОФИЯ (любомудрие, любовь к мудрости) был введен Пифагором в связи с доказательством нерациональности числа "корень из 2". Это, в свою очередь, и явилось причиной уничтожения математики Пифагора.
Сам Пифагор назвал иррациональными числа, квадрат которых есть число рациональное.
В добавлению к этому Пифагор согласился с тем, что раз мы не можем всегда мыслить рационально, и принимать рациональные решения, то следует хотя бы стремиться к этому, и поступать мудро (то есть любомудрствовать или философствовать).
Сам Пифагор термином ФИЛОСОФИЯ воспользоваться не успел, поскольку после сожжения пифагорейцев в Кротоне в их церкви, живым Пифагора больше никто не видел.
А термин ФИЛОСОФИЯ благополучно пережил и Пифагора, и пифагорейцев, и активно используется до сих пор. И если у нас есть рациональное мышление, то рядом с ним должна присутствовать и его иррациональная часть - ФИЛОСОФИЯ,
Пожалуй самым важным в логике Аристотеля является его учение о КАТЕГОРИЯХ,
Сам Аристотель плохо себе представлял ЧТО ТАКОЕ КАТЕГОРИИ. Но, понимая начальную важность этого понятия, он интуитивно выделил 10 категорий:
1) сущность ουσία (лат. essentia),
2) качество ποιόν (лат. qualitas),
3) количество ποσό'ν (лат. quantitas),
4) отношение προς τι (лат. relatio),
5) место που (лат. ubeitas),
6) время ποτέ (лат. quandeitas),
7) положение κεΐσθαι (лат. situs),
8) обладание εχειν (лат. habitudo),
9) действие ποιεί ν (лат. actio),
10) страдание πασχεΐν (лат. passio)
Прежде всего категории — это различия сущего как такового.
Само по себе сущее не существует и не образует отделенного от вещей рода. «Бытие для каждой вещи,— пишет Аристотель,— не есть ее сущность, ибо сущее не есть род» .
Я не буду здесь спорить с Аристотелем. Показалось ему это правильным — И БОГ С НИМ.
Но нас расплывчатые формулировки и туманные представления категорий, в исполнении Аристотеля и других авторов, устроить не могут. Поэтому мы вправе определить или выделить свои собственные категории, которые нас устроят гораздо больше. По этой причине я дам читателям свое собственное представление о КАТЕГОРИЯХ.
КАТЕГОРИИ ( в физико-математическом представлении) — это цельные и логически вполне законченные разделы физико-математических представлений и определений.
Например, категорией мы можем считать механику Ньютона, вместе со всеми ее законами и представлениями. Категорией мы можем считать оптику, теорию теплопроводности, гидродинамику, теорию многочленов, теорию матриц, теорию дифференциальных уравнений и многие другие цельные и вполне обособленные разделы физики и математики.
Идеальным в этом смысле мне видится многотомник "Теоретической физики" Ландау и Лифшица. Разумеется, сюда можно добавить "Оптику" Ландсберга , и другие разделы. Но нам вполне достаточно того, что уже есть.
Главное, чтобы все сущности, относящееся к выбранной категории, находилось только в ней одной, и нигде более. Например, ни один из многочленов не должен присутствовать в теории матриц, а волновые свойства света не могут быть частью теплопроводности, и так далее.
КАТЕГОРИЯ ОТРИЦАНИЯ
Теперь предположим, что мы определили некоторую независимую категорию "К".
Тогда вполне очевидно, что и логическое отрицание этой категории "не К" тоже будет логической категорией, независимой от самого "К".
Но если "К" – это определенная или постулированная категория, то у "не К" свойство определенности (постулированности) будет заведомо отсутствовать (в силу отрицания "К"), и "не К" будет заведомо неопределяемой категорией. То есть, "не К" в этом случае ОПРЕДЕЛИТЬ НЕВОЗМОЖНО!!!
И в этом случае ПРИНЯТО СЧИТАТЬ, что будет выполнено, что "не не К" (двойное отрицание "К") тождественно самому "К".
ЭТО ЕСТЬ ГЛАВНОЕ УСЛОВИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТ, ЛОГИКИ.
То есть, мат. логика – это такая логика, в которой выполнено условие "не не К" (двойное отрицание "К") тождественно самому "К".
Помимо этого, "К" тождественно самому себе. То есть, никакие манипуляции с "К" не могут изменить его самого.
Перефразируя все сказанное выше для предикатов или термов самой категории "К", получим всем известные постулаты логики Аристотеля:
Постулаты логики Аристотеля всем хорошо известны, поэтому я их здесь рассматривать не буду. Кроме того, они нам неинтересны, и нам они в дальнейшем практически не понадобятся.
ЛОГИКА АРИСТОТЕЛЯ (И МАТ,ЛОГИКА В ЦЕЛОМ) НАС НЕ ИНТЕРЕСУЕТ В СИЛУ ВНУТРЕННЕГО ПРИМИТИВИЗМА ЭТИХ ЛОГИК!
В самом деле, несложно заметить, что законы Логики Аристотеля могут быть справедливыми лишь в рамках одной единственной определенной или постулированной категории. Если же мы пытаемся выйти за рамки этой категории, ИЛИ РАССМОТРЕТЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КАТЕГОРИЙ, то законы логики Аристотеля тут же теряют смысл. И сейчас мы в этом убедимся.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КАТЕГОРИЙ. ЭЛЕМЕНТЫ МЕТАЛОГИКИ
Теперь представим себе, что первый элемент, или первую категорию для наших дальнейших логических действий мы выбрали. Для определенности, пусть это будет том 1 многотомника Ландау (категория "Т1").
Тогда логическим отрицанием "Т1" будут все оставшиеся тома нашего многотомника, категория "Т2, Т3, ..., Т10":
"не Т1" = "Т2, Т3, ... ,Т10"
Здесь нам следует обратить внимание на тот факт, что категория "Т1" единственна и, как следствие этого, логическое отрицание "Т1" свойством единственности обладать не может. То есть, "не Т1" – это некоторое множество.
Теперь выделим из множества "Т2, Т3, ...,Т10" произвольный элемент, и присоединим его к "Т1". Пусть этот выделенный элемент будет категорией "Т2". В результате получаем пару выделенных категорий ("Т1"; "Т2").
ВОЗНИКАЕТ ВОПРОС: Что считать логическим отрицанием категории "Т2"? – Категорию "Т1", или множество "Т3, Т4, ... , Т10"?
ОТВЕТА НА ЭТОТ ВОПРОС У НАС НЕТ!!!
Теперь предположим, что мы поставили выбранные книги на место. И теперь пусть первой выбранной книгой будет "Т2", а второй выбранной книгой будет "Т1". В результате получаем пару выделенных категорий ("Т2"; "Т1"), сопряженную первой паре ("Т1"; "Т2").
ЧТО БУДЕТ ЛОГИЧЕСКИМ ОТРИЦАНИЕМ В ЭТОТ РАЗ?
В результате мы приходим к выводу, что результат наших логических действий зависит от последовательности выбранных нами категорий. И будет разным для разных последовательностей этих действий.
На первый взгляд может показаться, что полученный нами результат является необъяснимо странным и не заслуживает серьезного внимания. В самом деле, какая разница в какой последовательности мы сняли книги с полки, и выполнили действия.
Но природа нас не спрашивает как ей и что делать. Она самостоятельно и без нас "снимает книги с полки" и сама решает в какой ЛОГИЧЕСКОЙ последовательности ей лучше действовать, и какая ЛОГИКА ей лучше подходит.
Давайте рассмотрим это на простом примере.
ДУАЛЬНОСТЬ МНОЖЕСТВА РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Возьмем обычное число 1, и выполним с ним одни и те же действия, но в разной логической последовательности.
В первом случае мы умножим 1 на 3, и результат этого действия разделим на 3. Получим 1*3 = 3; 3 : 3 = 1,0000(0).
Во втором случае мы наоборот, разделим 1 на 3 и результат умножим на 3. Получим 1:3=0,3333(3); 0,3333(3) *3 = 0,9999(9).
Поскольку результаты прямых и обратных операций в математике не должны зависеть от последовательности действий, то мы оказываемся вынуждены признать, что 1,000(0) = 0,9999(9)
ТО ЕСТЬ, ЕДИНИЦА В МАТЕМАТИКЕ ОБЛАДАЕТ СВОЙСТВОМ ДУАЛЬНОСТИ.
Помимо это, как известно, единица в математике – это число, при умножении на которое любой математический объект не меняет своего значения и своих свойств.
Возьмем произвольное число. Например 2/3 = 0,6666(6), и умножим его на ДУАЛЬНУЮ ЕДИНИЦУ!
0,6666(6) * 1,0000(0) = 0,6666(6);
0,6666(6) * 0,9999(9) = ??????????
0,6666 * 0,9999 = 0,6665 3334;
0,66666 * 0,99999 = 0,66665 33334;
0,666666*0,999999 = 0,666665 333334;
.....................................................................
= 0,666666(6)5 333333(3)4 – (!!!???) – ЧТО ЭТО ЗА ЧИСЛО???
Что это за загадочное число, которое, к тому же, в точности должно быть равно 0,6666(6) = 0,666666(6)5 333333(3)4. – Как такое может быть???
Таких чисел в современной математике ВООБЩЕ НЕТ!
Такие числа современная математика вообще изучает и не рассматривает. Она от них шарахается как черт от ладана.
Согласно современным математическим представлениям, любое рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби. ОКАЗЫВАЕТСЯ ЧТО ЭТО НЕ ТАК!!!
Оказывается, что любое рациональное число допускает равнозначное дуальное представление:
1) В виде периодической десятичной дроби
2) В виде двухпериодической десятичной дроби.
И такие числа абсолютно равнозначны, и их следует считать абсолютно одинаковыми.
И причиной тому является металогика порядка выбора категорий, рассмотренная ранее. То есть, это общее свойство, которое необходимо выполняется для всех логических действий. И не только для рациональных чисел.
ДУАЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О БРАХИСТОХРОНЕ ДВИЖЕНИЯ
Еще одним примером дуальности решения является знаменитая задача о брахистохроне движения. Ранее я уже достаточно подробно рассмотрел ее решение.
В этом случае мы тоже формулирует задачу в виде конечно-разностного прямолинейного движения, а решение получаем дуальное, в виде суперпозиции равномерного прямолинейного движения центра колеса, и равномерного вращения этого колеса.
ДУАЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КЕПЛЕРА
Еще одним примером дуальности решений является уже рассмотренная ранее задача Кеплера
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате мы видим, что несбыточные шизофренические фантазии Гильберта мы можем наблюдать лишь в рамках примитивных логических конструкций одно-предикатной логики, оставаясь в границах действия одной единственной категории. Любая попытка выхода за эти границы приводит к разрушению всей аксиоматической структуры как математики, так и физики, что приводит к полной утрате доказательного базиса.
Суперпозиция двух логических категорий приводит к дуальности результатов решения, и невозможности любого доказательства чего-либо.
В результате от доказательной математики мы переходим к математике соглашений.