Третье задание представлено в демоверсии 2026 года в четырех вариантах.
Вариант 1.
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Решение:
Кружки цилиндрические, а объем цилиндра можно найти по формуле:
Из формулы видно, что объем цилиндра пропорционален его высоте и квадрату радиуса.
Допустим, объем первой кружки V, высота ее равна h, а радиус R. Если первая кружка вдвое выше первой, значит, вторая вдвое ниже, то есть ее высота равна h/2.
Вторая кружка в полтора раза шире первой, то есть, если радиус первой равен R, то радиус второй равен 1,5R.
Подставим в формулу объема:
Поделим объем второй кружки на объем первой, при этом сократим в числителе и знаменателе одинаковые сомножители:
Ответ: 1,125
Вариант 2.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A₁, прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB=3, AD=9, AA₁ = 4.
Решение:
Объем всего параллелепипеда найдем, умножив все три его измерения: длину, ширину и высоту.
Нам нужно найти объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A₁. Это пирамида, а объем пирамиды:
Учитывая, что площади основания и высота параллелепипеда и пирамиды одинаковые, надо просто поделить объем параллелепипеда на 3. Делим 108 на 3 и получаем 36.
Ответ: 36
Вариант 3.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Решение:
Похожая задача была рассмотрена здесь...
Если уровень жидкости составляет 1/3 высоты, то по объему эта жидкость занимает 1/27 всего объема конуса (возводим 1/3 в третью степень).
Значит, чтобы найти объем всего сосуда надо 4 мл (столько уже налито) умножить на 27. Объем всего сосуда, таким образом, получается 108 мл.
В задаче спрашивается, сколько надо долить мл, чтобы наполнить сосуд. Весь сосуд 108 мл, уже налито 4 мл, значит, долить надо 108 - 4 = 104 мл
Ответ: 104
Вариант 4.
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 9√2. Найдите радиус сферы.
Решение:
Так как центр сферы находится в центре основания конуса, то высота конуса равна его радиусу (и радиусу сферы).
Получается равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными R, и гипотенузой 9√2.
Воспользуемся теоремой Пифагора:
Тут можно заметить, что у равнобедренного прямоугольного треугольника гипотенуза всегда в √2 раз больше катета (соответственно, катет в √2 раз меньше гипотенузы). Поэтому можно даже без вычислений сказать, что, если гипотенуза 9√2, то катет в √2 раз меньше, значит, он равен 9.
Ответ: 9
Еще по демоверсии профильного ЕГЭ: