В демонстрационном варианте 2026 года первое задание представлено в четырех вариантах.
Вариант 1.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Обозначим заданные углы на чертеже:
Обратим внимание на углы CAD и СBD. Эти углы равны, так как это два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу CD. Значит, угол СBD тоже равен 42°.
Дальше все просто: чтобы найти угол ABD, надо из угла ABC вычесть угол CBD.
Получаем: 103 - 42 =61°
Ответ: 61
Вариант 2.
Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка Е - середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Решение:
Проведем через точку Е прямую, параллельную сторонам АВ и CD. Эта прямая пересечет сторону ВС в точке, допустим, М. Получается, что исходный параллелограмм площадью 24 мы разделили на две равных части, каждая площадью по 12.
Соединяем точки М и D (или С и Е) и делим половину еще на две равных части. Каждая из частей составляет одну четвертую часть параллелограмма, то есть 6.
В трапеции BCDE три треугольника, причем площадь каждого 6. Значит, площадь всей трапеции 6+6+6 = 18.
Ответ: 18
Вариант 3.
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 65°. Найдите величину угла между высотой CH и медианой CM, проведенными из вершины прямого угла С. Ответ дайте в градусах.
Решение:
В любом треугольнике сумма углов равна 180°. В треугольнике ВНС угол В равен 65°, угол СНВ прямой (90°), так как СН - высота. Значит, угол ВСН равен 25°.
В прямоугольном треугольнике АВС медиана СМ равна половине гипотенузы АВ. Каждый из отрезков МВ и МА тоже равен половине гипотенузы АВ, потому что М - середина АВ. Значит, медиана СМ разбивает прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника АМС и СМВ. Например, у треугольника СМВ: СМ=МВ.
Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то угол МСВ равен углу МВС и равен 65°.
Тогда угол между медианой и высотой равен 65° - 25° = 40°
Ответ: 40°
Вариант 4
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Решение:
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть (4+10)/2 = 7.
Диагональ делит трапецию на два треугольника и отрезки средней линии - это как раз средние линии этих треугольников. Средняя линия треугольника равна половине основания, значит один отрезок равен 2, а второй 5.
Таким образом, больший из отрезков равен 5.
Ответ: 5