Среди заданий как базового, так и профильного уровня ЕГЭ по математике попадаются задачи, которые, не будучи сложными, вызывают массу затруднений у выпускников. Решение одной из таких задач попробуем разобрать в этой статье.
Задача сформулирована следующим образом: В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда равен 640 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
К задаче прилагается чертеж:
Решается такая задача довольно просто. Немного достроим чертеж и обозначим на чертеже R, r - радиусы (соответственно) большого и малого конуса, H, h - высоты большого и малого конуса:
Нетрудно заметить, что треугольники, выделенные на чертеже красным цветом, подобны по первому признаку (по двум углам - один из углов является общим, а еще два угла равны по 90 градусов между высотой и радиусом). Это значит, что:
Следовательно:
Формула объема большого конуса (сосуда):
Подставив в эту формулу радиус и высоту малого конуса, получим:
То есть, объем налитой жидкости равен 1/8 объема большого конуса (сосуда). Если объем сосуда равен 640 мл, то поделив 640 на 8, получим 80 мл - объем налитой в сосуд жидкости.