С полным списком всех статей, опубликованных на канале, можно ознакомиться здесь.
Я уже обсуждал вопрос, каким образом можно изобразить плоскость на эпюре Монжа. Таких способов всего два: показать следы плоскости или указать проекции трех и более точек, принадлежащих плоскости. Понятно, что в этом наборе точек минимум три точки не должны лежать на одной прямой. Этот второй способ, вполне естественно, дает еще несколько вариантов задания плоскости.
Если плоскость задана проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, мы можем построить проекции прямой по проекциям двух точек и получить изображение плоскости с помощью проекций прямой и точки.
Если у нас имеются проекции четырех точек, принадлежащих плоскости, мы можем получить проекции двух прямых, которые будут определять плоскость. Эти прямые могут быть как пересекающимися (слева на рисунке), так и параллельными (справа на рисунке). На обеих частях рисунка изображена одна и та же плоскость.
Наконец, если точки являются вершинами любой плоской геометрической фигуры, расположенной на плоскости, то проекции такой фигуры на эпюре будут задавать эту плоскость.
Замечу, что на всех приведенных выше рисунках задана одна и та же плоскость в одном и том же масштабе измерения по координатным осям.
Учитывая сказанное, у нас может быть несколько вариантов исходных условий для решения задачи пересечения двух плоскостей. Последовательно рассмотрим большую часть этих вариантов. Задачи позаимствованы со страницы 188 из книги: Начертательная геометрия: учебник. / Под общ. ред. В.И. Серегина. – 1-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 168 с.: ил.
Проецирующие плоскости. Первая задана следами. Вторая — параллельными прямыми.
Требуется построить проекции линии пересечения двух плоскостей. Первая плоскость задана горизонтальным и фронтальным синими следами. Вторая плоскость определяется проекциями двух прямых: зелёной и оранжевой. Причём фронтальные проекции этих прямых совпадают.
Проанализируем условия задачи. Мы видим, что фронтальный след первой плоскости перпендикулярен оси x, из чего можно сделать вывод, что первая плоскость горизонтально проецирующая, то есть она перпендикулярна координатной плоскости XOY. А совпадение фронтальных проекций двух прямых, принадлежащих второй плоскости, говорит, что вторая плоскость фронтально проецирующая, то есть перпендикулярна координатной плоскости XOZ.
Поэтому фронтальный красный след второй плоскости будет совпадать с фронтальными проекциями прямых, принадлежащих этой плоскости. Красная точка пересечения этого следа и оси x дает нам точку схода следов второй плоскости.
Горизонтальный след этой плоскости мы получаем, построив перпендикуляр к оси x в этой точке схода.
А проекции линии пересечения плоскостей будут совпадать с горизонтальным следом первой плоскости и фронтальным следом второй. На рисунке эти проекции показаны светло-голубыми линиями.
Важно отметить, что мы рассматриваем лишь те небольшие фрагменты плоскостей, которые ограничены первым октантом трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей. Причем небольшим объемом этого октанта.
Осталось определить видимые и скрытые части прямых, которые определяют вторую плоскость. Фронтальные проекции прямых совпадают, значит, видимой проекцией является фронтальная проекция зеленой прямой, потому что горизонтальная проекция зеленой прямой расположена на более удаленном расстоянии от оси x, чем горизонтальная проекция оранжевой прямой.
При этом слева от точки пересечения зелёной прямой и светло-голубой линии пересечения плоскостей фронтальная проекция зелёной прямой будет не видна. Потому что с этого момента на горизонтальной проекции светло-голубая линия будет более удалённой от оси x, чем зелёная прямая. А вот горизонтальные проекции зелёной и оранжевой прямой полностью видимые, поскольку первая плоскость, заданная синими следами, является горизонтально проецирующей и никак не влияет на видимость горизонтальных проекций.
Плоскость уровня и плоскость, заданная пересекающимися прямыми.
Первая плоскость задана синим следом, параллельным оси x, то есть она является горизонтальной плоскостью уровня. Вторая плоскость задана пересекающимися зеленой и оранжевой прямой.
Решение очень простое. И зелёная, и оранжевая прямые пересекают синюю плоскость. Если мы построим проекции прямой, которая содержит обе точки пересечения, это и будут проекции линии пересечения двух заданных плоскостей.
Красная фронтальная проекция линии пересечения совпадает с синим следом первой плоскости. Это и понятно. Ведь линия пересечения принадлежит и первой, и второй плоскости. Зелёная точка — это фронтальная проекция точки пересечения зелёной прямой и горизонтальной плоскости уровня. Оранжевая точка — фронтальная проекция точки пересечения оранжевой прямой и той же плоскости.
Найдем горизонтальные проекции этих точек. Красная прямая, построенная по этим точкам, — это горизонтальная проекция линии пересечения двух плоскостей.
Фронтальные проекции зелёной и оранжевой прямой полностью видимы, поскольку плоскость, заданная синим следом, является плоскостью горизонтального уровня и никак не влияет на видимость этих проекций.
А вот те части горизонтальных проекций прямых, которые располагаются ближе к оси x, чем красная горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей, будут невидимы. Они находятся «под синей плоскостью».
Плоскости общего положения, заданные своими следами.
Исходные условия задачи выглядят как-то так.
Давайте рассуждать. Синий и зелёный фронтальные следы двух плоскостей пересекаются, и фиолетовая точка их пересечения принадлежит не только двум указанным плоскостям, но и фронтальной плоскости проекции. Поэтому фронтальная проекция фиолетовой точки совпадает с самой точкой, а горизонтальная проекция располагается на оси x.
Аналогичные рассуждения для светло-голубой точки, которая является пересечением синего и зелёного горизонтальных следов. Её горизонтальная проекция совпадает с самой точкой, а фронтальная проекция лежит на оси x.
Соединим две горизонтальные и две фронтальные проекции точек пересечения плоскостей. Получим горизонтальную и фронтальную красные проекции линии пересечения плоскостей.
На мой взгляд, это самый простой случай определения линии пересечения двух плоскостей.
И снова напоминаю. И плоскости, и линия пересечения простираются бесконечно далеко, а мы всегда рассматриваем лишь небольшой объем первого октанта координатного пространства.
Плоскости заданы следами и проекциями треугольника, принадлежащего плоскости.
Перед нами две плоскости общего положения. Одна задана своими синими следами, другая задана зеленым треугольником, принадлежащим этой второй плоскости. Буду называть их синей и зеленой плоскостями.
Давайте подумаем. Линия пересечения двух плоскостей — это прямая. Чтобы построить прямую, необходимо знать расположение любых двух несовпадающих точек этой прямой. Получается, нам нужно найти две несовпадающие точки, которые принадлежат одновременно синей и зеленой плоскостям. И тут нам на помощь приходят плоскости уровней.
Если я построю горизонтальную плоскость уровня, проходящую через одну из вершин треугольника, так, чтобы эта плоскость не касалась треугольника, а рассекала его на две части, то пересечение плоскости уровня и стороны треугольника даст нам точку. Эта точка, соединенная с вершиной треугольника, позволяет построить прямую, которая принадлежит и плоскости уровня, и зеленой плоскости. Эта прямая, в свою очередь, пересекается с синей плоскостью, и уже эта точка пересечения является общей и для синей плоскости, и для зеленой. Первую общую точку двух плоскостей мы нашли. На рисунке она отмечена красным цветом.
Как этот алгоритм реализовать на эпюре Монжа?
Сосредоточимся на фронтальной плоскости проекций эпюры Монжа. Строим серую горизонтальную плоскость уровня, которой принадлежит вершина треугольника. Имеем фронтальную проекцию точки пересечения плоскости уровня и стороны треугольника, которая в дальнейшем позволит построить горизонтальную проекцию красной прямой. Эту точку я обозначил красным квадратом. А вот получить фронтальную проекцию точки пересечения плоскости уровня и красной прямой мы пока не можем. Однозначно можно определить только фронтальную проекцию точки пересечения плоскости уровня и фронтального следа синей плоскости. Это синяя точка.
В пространстве это выглядит так. Обратите внимание, что бледно-голубая линия пересечения плоскости уровня и синей плоскости параллельна горизонтальному следу синей плоскости. И это понятно. Ведь если две параллельные плоскости пересекаются с какой-то третьей плоскостью линии пересечения параллельны.
Возвращаемся к эпюре. Находим горизонтальную проекцию синей точки, которая располагается на оси x. Из этой точки строим прямую параллельную горизонтальному следу синей плоскости. Эта прямая является горизонтальной проекцией бледно-голубой линии пересечения.
А построив горизонтальную проекцию красной прямой, получаем горизонтальную проекцию точки пересечения красной и бледно-голубой прямых.
Так же просто получаем фронтальную проекцию первой общей точки синей и зелёной плоскостей.
Снова рассечем зеленый треугольник на две части, но теперь уже фронтальной плоскостью уровня. Вновь построим красную прямую. Она базируется на двух точках: вершине зеленого треугольника, которая является определяющей для фронтальной плоскости уровня, и точке пересечения плоскости уровня и ребра треугольника. Она обозначена красным квадратом. Эта прямая, естественно, пересекается с синей плоскостью. Точку пересечения я обозначил красным треугольником. Эта точка будет принадлежать как синей плоскости, так и зеленой. Это вторая необходимая для построения линии пересечения плоскостей точка. Первая уже найденная на эпюре точка обозначена красным кружком.
К сожалению, на рисунке не видно, что светло-голубая линия пересечения синей плоскости и плоскости уровня параллельна фронтальному следу синей плоскости. Хотя это понятно, потому что две параллельных плоскости при пересечении с третьей дают параллельные линии пересечения.
На эпюре Монжа сразу получить местоположение «треугольной» точки нельзя. Как и в прошлый раз, сделаем это последовательно.
Построим горизонтальный след фронтальной плоскости уровня, проходящий через вершину зеленого треугольника. Пересечение плоскости уровня и горизонтального следа синей плоскости дает нам горизонтальную проекцию точки пересечения этих плоскостей. А фронтальная проекция этой точки лежит на оси x. Из фронтальной проекции синей точки строим бледно-голубую прямую, параллельную фронтальному следу синей плоскости. Эта прямая — фронтальная проекция линии пересечения синей плоскости и плоскости уровня. Именно на этой прямой будет располагаться «треугольная» точка пересечения красной прямой и синей плоскости, которая к тому же является общей точкой и для синей, и для зеленой плоскостей.
Определяем местоположение фронтальной проекции красной «квадратной» точки. Строим фронтальную проекцию красной прямой и получаем фронтальную проекцию красной «треугольной» точки.
Определяем местоположение горизонтальной проекции «треугольной» точки. Мы получили проекции двух точек, принадлежащих как синей, так и зелёной плоскостям.
Фиолетовые прямые — это горизонтальная и фронтальная проекции линии пересечения двух заданных плоскостей.
На сегодня пожалуй все. О взаимной видимости пересекающихся плоскостей поговорим в следующий раз. Удачи вам. Дерзайте.
