Задание 8 из ОГЭ по математике - это задание из раздела "Алгебраические выражения". Для его выполнения необходимо найти значение выражения, применяя свойства степеней и корней, а также формулы сокращённого умножения.
Приведу примеры вариаций задания 8, которые могут попасться на экзамене. Они как обычно взяты из открытого банка заданий ОГЭ.
Разбор
Степени: теория
Свойства степеней:
1. Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание не изменяется, а показатель равен сумме показателей степеней множителей.
Пример: а² * а⁹ = а¹¹
2. Частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание не изменяется, а показатель равен разности показателей степеней множителей.
Пример: а⁸ : а⁵ = а³
3. Возведение числа в степени в степень равно выражению, где основание степени не изменяется, а показатель равен произведению показателей степени.
Пример: (а⁴)⁶ = а²⁴
4. Возведение в степень произведения двух чисел равно произведению этих чисел, каждое из которых находится в степени произведения.
(а * b)⁹ = a⁹ * b⁹
5. Любое число в нулевой степени равно единице.
6. Число в отрицательной степени равно обратному числу в положительной степени.
Пример: а⁻⁴ = 1 / a⁴
Степени: практика
Вариация 1. Пример 1. Найдите значение выражения а⁸ * а¹⁷ : а²⁰ при а = 2.
Применим 1 и 2 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен 8 + 17 – 20, то есть 5. Получим а⁵. Подставим а = 2. Получим 2⁵ = 32.
Ответ: 32
Вариация 1. Пример 2. Найдите значение выражения а⁹ * а¹² : а¹⁸ при а = 4.
Применим 1 и 2 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен 9 + 12 – 18, то есть 3. Получим а³. Подставим а = 4. Получим 4³ = 64.
Ответ: 64
Вариация 2. Пример 1. Найдите значение выражения а¹⁶ * а⁻⁷ : а⁶ при а = 3.
Применим 1 и 2 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен 16 + (-7) – 6, то есть 3. Получим а³. Подставим а = 3. Получим 3³ = 27.
Ответ: 27
Вариация 2. Пример 2. Найдите значение выражения а¹⁸ * а⁻⁶ : а¹⁰ при а = 5.
Применим 1 и 2 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен 18 + (-6) – 10, то есть 2. Получим а². Подставим а = 5. Получим 5² = 25.
Ответ: 25
Вариация 3. Пример 1. Найдите значение выражения а⁻¹³ * (а⁸)² при а = 3.
Применим 2 и 3 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен -13 + 8 * 2, то есть 3. Получим а³. Подставим а = 3. Получим 3³ = 27.
Ответ: 27
Вариация 3. Пример 2. Найдите значение выражения а⁻¹⁸ * (а¹¹)² при а = 2.
Применим 2 и 3 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен -18 + 11 * 2, то есть 4. Получим а⁴. Подставим а = 2. Получим 2⁴ = 16.
Ответ: 16
Вариация 4. Пример 1. Найдите значение выражения (а⁷)² : а¹² при а = 5.
Применим 2 и 3 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен 7 * 2 - 12, то есть 2. Получим а². Подставим а = 5. Получим 5² = 25.
Ответ: 25
Вариация 4. Пример 2. Найдите значение выражения (а⁴)⁴ : а¹⁴ при а = 6.
Применим 2 и 3 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен 4 * 4 - 14, то есть 2. Получим а². Подставим а = 6. Получим 6² = 36.
Ответ: 36
Вариация 5. Пример 1. Найдите значение выражения (а⁵)⁵ * а⁶ : а²⁷ при а = 2.
Применим 1, 2 и 3 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен 5*5 + 6 - 27, то есть 4. Получим а⁴. Подставим а = 2. Получим 2⁴ = 16.
Ответ: 16
Вариация 5. Пример 2. Найдите значение выражения (а⁹)³ * а⁷ : а²⁹ при а = 2.
Применим 1, 2 и 3 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен 9*3 + 7 - 29, то есть 5. Получим а⁵. Подставим а = 2. Получим 2⁵ = 32.
Ответ: 32
Вариация 6. Пример 1. Найдите значение выражения а²³ * (b⁵)⁴ / (а * b)²⁰ при а = 2, b = √2.
Применим 1,2, 3 и 4 свойства, тогда основания степеней останутся неизменными, показатель для а равен 23 – 20, то есть 3, показатель для b равен 5 * 4 – 20, то есть 0. Получим а³ * b⁰. Согласно 5 свойству, b⁰ = 1. Подставим а = 2. Получим 2³ = 8.
Ответ: 8
Вариация 6. Пример 2. Найдите значение выражения а¹⁴ * (b⁶)² / (а * b)¹² при а = 6, b = √6.
Применим 1,2, 3 и 4 свойства, тогда основания степеней останутся неизменными, показатель для а равен 14 – 12, то есть 2, показатель для b равен 6 * 2 – 12, то есть 0. Получим а² * b⁰. Согласно 5 свойству, b⁰ = 1. Подставим а = 6. Получим 6² = 36.
Ответ: 36
Вариация 7. Пример 1. Найдите значение выражения 9⁻⁶ * 9¹⁵ : 9⁷.
Применим 1 и 2 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен -6 + 15 - 7, то есть 2. Получим 9² = 81.
Ответ: 81
Вариация 7. Пример 2. Найдите значение выражения 11⁻³ * 11¹² : 11⁸.
Применим 1 и 2 свойства, тогда основание степени останется неизменным, а показатель степени будет равен -3 + 12 - 8, то есть 1. Получим 11¹ = 11.
Ответ: 11
Вариация 8. Пример 1. Найдите значение выражения 10⁶ / 2⁵ * 5⁴.
Представим 10⁶ как произведение 2⁶ * 5⁶. Тогда получим 2⁶ * 5⁶ / 2⁵ * 5⁴. Применим свойства 1 и 2. Для 2 показатель степени равен 6 – 5, то есть 1, для 5 показатель степени равен 6 – 4, то есть 2. Получим 2¹ * 5² = 2 * 25 = 50.
Ответ: 50
Вариация 8. Пример 2. Найдите значение выражения 6¹² * 11¹⁰ / 66¹⁰.
Представим 66¹⁰ как произведение 6¹⁰ * 11¹⁰. Тогда получим 6¹² * 11¹⁰ / 6¹⁰ * 11¹⁰. Применим свойства 1 и 2. Для 6 показатель степени равен 12 – 10, то есть 2, для 11 показатель степени равен 10 – 10, то есть 0. Согласно свойству 5, 10⁰ = 1. Получим 6² * 1 = 36.
Ответ: 36
Вариация 9. Пример 1. Найдите значение выражения 3⁷ / 81.
Представим 81 как 3⁴. Тогда получим 3⁷ / 3⁴. Применим свойство 2. Тогда показатель степени для 3 равен 7 – 4, то есть 3. Получим 3³ = 27.
Ответ: 27
Вариация 9. Пример 2. Найдите значение выражения 5⁵ / 125.
Представим 125 как 5³. Тогда получим 5⁵ / 5³. Применим свойство 2. Тогда показатель степени для 5 равен 5 – 3, то есть 2. Получим 5² = 25.
Ответ: 25
Вариация 10. Пример 1. Найдите значение выражения (3 * 10)⁸ / 3⁶ * 10⁷.
Согласно свойству 4 (3 * 10)⁸ = 3⁸ * 10⁸. Тогда получим 3⁸ * 10⁸ / 3⁶ * 10⁷. Применим свойства 1 и 2. Для 3 показатель степени равен 8 – 6, то есть 2, для 10 показатель степени равен 8 – 7, то есть 1. Получим 3² * 10¹ = 9 * 10 = 90.
Ответ: 90
Вариация 10. Пример 2. Найдите значение выражения (4 * 5)⁷ / 4⁶ * 5⁵.
Согласно свойству 4 (4 * 5)⁷ = 4⁷ * 5⁷. Тогда получим 4⁷ * 5⁷ / 4⁶ * 5⁵. Применим свойства 1 и 2. Для 4 показатель степени равен 7 – 6, то есть 1, для 5 показатель степени равен 7 – 5, то есть 2. Получим 4¹ * 5² = 4 * 25 = 100.
Ответ: 100
Вариация 11. Пример 1. Найдите значение выражения 1 / 4⁻¹⁰ * 1 / 4⁹.
Перемножим дроби и применим свойство 1. Получим 1 / 4⁻¹. Затем применим свойство 6. Получим 4¹.
Ответ: 4
Вариация 11. Пример 2. Найдите значение выражения 1 / 2⁻¹¹ * 1 / 2⁷.
Перемножим дроби и применим свойство 1. Получим 1 / 2⁻⁴. Затем применим свойство 6. Получим 2⁴ = 16.
Ответ: 16
Корни: теория
1. Складывать и вычитать можно только корни с одинаковым подкорневым выражением.
√3 + 2√3 = 3√3 – можно
√2 + √7 - нельзя
2. Произведение корней можно записать как корень произведения, а частное корней – как корень частного.
√2 * √5 = √(5 * 2) = √10
√20 : √5 = √(20 : 5) = √4 = 2
3. Корень из выражения второй степени равен подкорневому выражению.
√а² = а
4. Чтобы найти корень из дроби. Можно взять корень из числителя и разделить его на корень из знаменателя.
Пример: √(4/49) = √4/√49 = 2/7
Корни: практика
Вариация 1. Пример 1. Найдите значение выражения √5⁶.
Способ 1. √5⁶ = √(5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5) = √(25 * 25 * 25) = 5 * 5 * 5 = 125.
Способ 2. √5⁶ = √(5³)² = 5³ = 125.
Ответ: 125
Вариация 1. Пример 2. Найдите значение выражения √9³.
√9³ = √(9 * 9 * 9) = 3 * 3 * 3 = 27.
Ответ: 27
Вариация 2. Пример 1. Найдите значение выражения √51 * √12 / √17.
Согласно свойству 2, можем записать под один корень. √(51 * 12 / 17) = √36 = 6.
Ответ: 6
Вариация 2. Пример 2. Найдите значение выражения √96 * √2 / √3.
Согласно свойству 2, можем записать под один корень. √(96 * 2 / 3) = √64 = 8.
Ответ: 8
Вариация 3. Пример 1. Найдите значение выражения √13 * 18 * √26.
Согласно свойству 2, можем записать под один корень. √(13 * 18 * 26). Разложим на множители. √(13 * 2 * 9 * 2 * 13) = √(13² * 2² * 9) = 13 * 2 * 3 = 78.
Ответ: 78
Вариация 3. Пример 2. Найдите значение выражения √7 * 18 * √14.
Согласно свойству 2, можем записать под один корень. √(7 * 18 * 14). Разложим на множители. √(7 * 2 * 9 * 2 * 7) = √(7² * 2² * 9) = 7 * 2 * 3 = 42.
Ответ: 42
Вариация 4. Пример 1. Найдите значение выражения 9√7 * 2√2 * √14.
Согласно свойству 2, можем записать под один корень. 9 * 2 * √(7 * 2 * 14). Разложим на множители. 18 * √(7 * 2 * 7 * 2) = 18 * √(7² * 2²) = 18 * 7 * 2 = 252.
Ответ: 42
Вариация 4. Пример 2. Найдите значение выражения 4√17 * 5√2 * √34.
Согласно свойству 2, можем записать под один корень. 4 * 5 * √(17 * 2 * 34). Разложим на множители. 20 * √(17 * 2 * 17 * 2) = 20 * √(17² * 2²) = 20 * 17 * 2 = 680.
Ответ: 680
Вариация 5. Пример 1. Найдите значение выражения (2√5)² / 160.
Возведём 2√5 во вторую степень: 2² * √5² = 4 * 5 = 20. Получим 20 / 160 = 1 / 8 = 0,125.
Ответ: 0,125
Вариация 5. Пример 2. Найдите значение выражения 72 / (2√3)².
Возведём 2√3 во вторую степень: 2² * √3² = 4 * 3 = 12. Получим 72 / 12 = 6.
Ответ: 6
Вариация 6. Пример 1. Найдите значение выражения (√45 - √5) * √5.
Согласно свойству 1 вычитание в скобках делать нельзя, поэтому домножим √5 на скобку. Получим √(45 * 5) - √(5 * 5) = √225 - √25 = 15 – 5 = 10.
Ответ: 10
Вариация 6. Пример 2. Найдите значение выражения (√27 + √3) * √3.
Согласно свойству 1 сложение в скобках делать нельзя, поэтому домножим √3 на скобку. Получим √(27 * 3) + √(3 * 3) = √81 + √9 = 9 + 3 = 12.
Ответ: 12
Вариация 7. Пример 1. Найдите значение выражения √(16x⁴ / y⁶) при x = 4, y = 2.
Поработаем отдельно с числом и с переменными. √16 = 4, √x⁴ = √(x²)² = x², √y⁶ = √(y³)² = y³. Получаем 4x² / y³. Подставляем известные значения 4 * 4² / 2³ = 4 * 16 / 8 = 8.
Ответ: 8
Вариация 7. Пример 2. Найдите значение выражения √(1/25 * x⁸ * y²) при x = 3, y = 5.
Поработаем отдельно с числом и с переменными. √1/25 = 1/5, √x⁸ = √(x⁴)² = x⁴, √y² = y. Получаем 1/5 * x⁴ * y. Подставляем известные значения 1/5 * 3⁴ * 5 = 3⁴ = 81.
Ответ: 81
Формулы сокращённого умножения: теория
Формула квадрата суммы: (а + b)² = a² + 2ab + b².
Формула квадрата разности: (а - b)² = a² - 2ab + b².
Формула разности квадратов а² - b² = (a – b)(a + b).
Формулы сокращённого умножения: практика
Вариация 1. Пример 1. Найдите значение выражения (√11 + 3)² - 6√11.
В скобке записана сумма, значит это квадрат суммы. Разложим его по формуле: (√11 + 3)² = √11² + 2 * 3 * √11 + 3² = 11 + 6√11 + 9. Подставляем в выражение: 11 + 6√11 + 9 - 6√11 = 11 + 9 = 20.
Ответ: 20
Вариация 1. Пример 2. Найдите значение выражения (√17 + 2)² - 4√17.
В скобке записана сумма, значит это квадрат суммы. Разложим его по формуле: (√17 + 2)² = √17² + 2 * 2 * √17 + 2² = 17 + 4√17 + 4. Подставляем в выражение: 17 + 4√17 + 4 - 4√17 = 17 + 4 = 21.
Ответ: 21
Вариация 2. Пример 1. Найдите значение выражения (√31 – 3)(√31 + 3).
Это разложение разности квадратов. (√31 – 3)(√31 + 3) = √31² - 3² = 31 – 9 = 22.
Ответ: 22
Вариация 2. Пример 2. Найдите значение выражения (√19 – 2)(√19 + 2).
Это разложение разности квадратов. (√19 – 2)(√19 + 2) = √19² - 2² = 19 – 4 = 15.
Ответ: 15
Вариация 3. Пример 1. Найдите значение выражения √(a² - 6ab + 9b²) при а = 3, b = 6.
Под корнем разложение квадрата разности. a² - 6ab + 9b² = (а – 3b)². Подставляем в выражение: √(а – 3b)² = а – 3b. Подставляем известные значения: 3 – 3*6 = 3 – 18 = -15.
Ответ: -15
Вариация 3. Пример 2. Найдите значение выражения √(a² + 8ab + 16b²) при а = 3 и 3/7, b = 1/7.
Под корнем разложение квадрата суммы. a² + 8ab + 16b² = (а + 4b)². Подставляем в выражение: √(а + 4b)² = а + 4b. Подставляем известные значения: 3 и 3/7 + 4 * 1/7 = 3 и 3/7 + 4/7 = 3 + 1 = 4.
Ответ: 4
Спасибо за прочтение
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал, ставьте лайк и оставляйте свой комментарий. Буду рада ответить на все вопросы!