Новая статья от MIT предлагает новый подход к квантовой механике, используя классическую физику. Авторы предполагают, что Фейнман переусердствовал, когда приравнял квантовую механику к сумме всех возможных траекторий частиц. Вам не нужны все зигзагообразные истории частицы, чтобы создать квантовую волновую функцию. Достаточно того, что они называют многозначным действием, где каждое значение этого действия даёт различную ветвь или временную линию в квантовой истории.
Классическая физика, начиная с XVIII века и французского математика Лагранжа, основывается на концепции наименьшего действия. Действие — это математическое выражение, которое в большинстве случаев показывает баланс между кинетической и потенциальной энергией на заданной «траектории». (Я беру слово «траектория» в кавычки, потому что траектория может быть чем угодно, что эволюционирует или меняется, включая потоки жидкости, поля или само пространство.)
Если я возьму мяч и уроню его с высоты, действие — это сумма величины, называемой лагранжианом, по всем точкам траектории. Лагранжиан, в свою очередь, представляет собой кинетическую энергию (равную половине массы, умноженной на квадрат скорости) минус потенциальную энергию (масса, умноженная на ускорение свободного падения и высоту). По мере того как мяч падает, потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия увеличивается. Однако на протяжении всего падения траектория такова, что действие, то есть сумма лагранжиана за время, является минимальной.
Это минимальное действие означает, что ни одна другая траектория не даст меньшего действия. Поскольку минимальное действие достигается, когда мяч падает прямо вниз, он не может следовать другой траектории.
Действие измеряется в единицах энергии, умноженной на время. Другая величина с теми же единицами — это постоянная Планка, которая связывает длину волны с энергией квантов света, то есть энергией фотона. Вот почему в квантовой механике, когда появляется действие, его единицы всегда компенсируются этой постоянной, так что получается безразмерная величина. Постоянная Планка — это единица измерения действия.
Чтобы понять, как мы получили квантовую механику из классической физики и почему могли свернуть не туда, нужно вернуться к истокам. Классическая механика может быть описана тремя способами: (1) через наименьшее действие, (2) через эквивалентные уравнения Гамильтона или (3) через уравнение Гамильтона-Якоби. В последнем уравнении само действие (некоторые могут назвать это главной функцией Гамильтона, но я буду называть это действием) является переменной, для которой нужно найти решение.
В 1920-х годах Шредингер использовал уравнение Гамильтона-Якоби, чтобы создать знаменитое квантовое уравнение, названное в его честь, приравняв действие, делённое на постоянную Планка с чертой (постоянная Планка, делённая на два Пи), с фазой квантовой волны.
Он не придумал эту концепцию с нуля, а вывел её на основе теории геометрической оптики, которая изучает распространение световых волновых фронтов с малыми длинами волн. Эта теория зародилась с Евклидом в III-IV веках до нашей эры, а в XVII веке французский учёный Ферма связал её с кратчайшим по времени путём между двумя точками.
В геометрической оптике волна описывается с помощью комплексных чисел, где фаза является основной величиной, поскольку частота игнорируется. Важным было то, как взаимодействуют волновые фронты с разными фазами, что было необходимо для объяснения таких эффектов, как эксперимент с двойной щелью, о котором я расскажу позже.
Использование уравнения Гамильтона-Якоби для объяснения геометрической оптики — это всё классическая физика, но приравнивание действия к фазе дало что-то новое. Это дало способ преобразовать механику, описывающую действия, которые управляют такими объектами, как мячи, ракеты и планеты, в волновые фронты.
Всё, что сделал Шредингер после этого, — это взял полученное уравнение Гамильтона-Якоби, которое теперь было выражено через волновую функцию вместо действия, и, принимая его как выражение, предположил, что оно минимально, а не равно нулю, как диктует классическая физика.
Этот последний шаг ничего не изменил для обычных частиц, поскольку нуль уже был минимальным. Однако это изменило ситуацию для некоторых других квантовых систем.
Уравнение Шредингера оказалось весьма успешным для расчёта вероятностей нахождения частиц и других величин в экспериментах и стало основой для большинства ранних этапов квантовой механики, вытеснив более ранние уравнения Гейзенберга.
Примерно 20 лет спустя аспирант по имени Ричард Фейнман начал искать способ описать волны Шрёдингера, используя классические траектории. То, что он придумал, теперь называется интегралом по траекториям, который он доказал эквивалентным волновой функции Шрёдингера в некоторых случаях. (До сих пор не существует строгого определения интеграла по траекториям в общем случае.) Эта сумма по историям включала все зигзагообразные траектории частиц, даже если они были крайне маловероятны. Траектории Фейнмана являются стохастическими, то есть достигают своей конечной цели случайным образом, и сторонники интерпретации многих миров утверждают, что существует отдельный мир для каждой из них.
Как и Шрёдингер, Фейнман использовал классическое действие в качестве фазы. В его случае он рассчитывал волну для каждой зигзагообразной траектории и суммировал их все, чтобы получить интеграл по траекториям. Его подход также показал, что наименьшее действие является наиболее вероятным, что хорошо соответствовало интуитивному представлению о квантовой физике как приближении к классической. Интеграл по траекториям также стал важным для развития квантовой теории поля, квантовой электродинамики и квантовой теории возмущений, в частности диаграмм Фейнмана, одного из практических инструментов для расчёта наблюдаемых величин в квантовых экспериментах.
Всё это предыстория, чтобы объяснить, что предлагает новая статья: все зигзагообразные траектории Фейнмана и отклонение Шрёдингера от уравнения Гамильтона-Якоби в классической геометрической оптике являются излишними. По мнению авторов, всё, что нужно, — это снова взглянуть на классическое действие в геометрической оптике.
Большую часть времени физики, включая Шрёдингера, Фейнмана, Дирака и других, предполагали, что классическое действие может иметь только одно значение, и его минимизация определяет единственный путь. Однако это не совсем так.
Когда на классическую задачу накладываются неравенства, действие может иметь несколько значений, то есть разные траектории могут давать разные минимальные значения в зависимости от ограничений.
Это связано с тем, что минимальное действие на самом деле является «локальным» минимумом, а не глобальным. Быть в локальном минимуме — это как стоять на дне долины. С вашей точки зрения, это самая низкая точка, но если вы взберётесь на горы вокруг, вы можете найти долину ниже той, в которой находитесь. Самая низкая возможная точка, например уровень моря, называется глобальным минимумом.
Без ограничений локально минимальные действия обычно являются глобально минимальными, но как только вы добавляете ограничения, может быть много минимумов, много долин. Физический процесс не найдёт глобальный минимум действия, потому что ограничения действуют как барьер, подобно горам вокруг долины. Вместо этого он будет стремиться к локальному минимуму.
Пример: предположим, у меня есть мяч в условиях нулевой гравитации и отсутствия сопротивления воздуха. В открытом космосе, без ограничений, наименьшее действие для перемещения мяча в определённую точку всегда будет по прямой линии. Моя начальная скорость также должна быть направлена в сторону места, где должен оказаться мяч.
Теперь представьте, что я помещаю мяч в комнату, где он может отскакивать от двух стен. Теперь мяч может отскакивать, прежде чем достичь точки назначения, и у него есть несколько способов туда попасть, которые не являются прямыми линиями.
Когда мяч ударяется о стену, он отскакивает с некоторой упругой силой. Таким образом, действие для мяча с учётом определённого начального положения и скорости допускает несколько «кратчайших» путей в зависимости от того, сколько раз он отскочит от стен перед тем, как достичь точки. Следовательно, существует несколько минимальных действий, одно для каждого отскока. Конечно, не каждая зигзагообразная траектория от точки А до точки Б является допустимой классической траекторией, но больше одной может быть. Это означает, что каждое количество отскоков представляет собой ветвь, альтернативную временную линию.
В квантовой механике, утверждают авторы, происходит то же самое, за исключением того, что вместо мячей мы имеем дело с классическими волновыми фронтами геометрической оптики.
Возьмём в качестве примера эксперимент с двойной щелью. В этом эксперименте есть барьер с двумя щелями. Вы стреляете частицами, такими как фотоны, по барьеру. Их волны проходят через щели и интерферируют друг с другом, прежде чем достичь экрана детектора. Это классический эксперимент, который может объяснить только квантовая механика, потому что, даже если мы отправляем через щели только одну частицу за раз, она всё равно интерферирует сама с собой, хотя на детекторе появляется в виде единственной точки.
В эксперименте с двойной щелью ограничение на действие создаётся двумя щелями. Они накладывают два ограничения, и поэтому мы получаем два значения для действия — левое и правое. Оба минимальны, и этого достаточно, чтобы вычислить волновую функцию.
Иными словами, вы могли бы просто взять классическое поведение двух волновых фронтов, учитывая ограничения двух щелей, и вычислить всю квантовую волновую функцию Шрёдингера. Есть только две возможные ветви, и полная волновая функция — это просто сумма двух классических волновых фронтов, а не бесконечного числа стохастических фронтов, как предполагает интеграл по траекториям.
Авторы показывают, как это работает для нескольких примеров: свободные частицы, квантовые гармонические осцилляторы (квантовые пружины), частица в коробке и эксперимент с двойной щелью. Они также распространяют это на релятивистскую квантовую физику.
Одной из ошибок, которые сделали ранние физики, когда пытались перейти от действия к волновой функции в полуклассическом приближении, является то, что они предположили, что амплитуда волновой функции всегда равна единице, независимо от того, где она находится на своей траектории. Это кажется логичным, так как волновая функция используется для вычисления вероятности, а вероятности должны суммироваться до единицы, но это оказывается проблемой как математически, так и физически. Это неправильно в большинстве случаев, потому что амплитуда волновой функции должна изменяться по мере её распространения во времени в большинстве случаев.
Авторы вводят понятие коэффициента сжатия для решения этой проблемы. Эта концепция позволяет полуклассическому приближению привести к полностью квантовому решению. Коэффициент сжатия аналогичен дифференциальным объёмам в потоке жидкости. Например, в поршневом двигателе коэффициент сжатия — это разница в объёме между нижним положением поршня, когда камера сгорания максимальна, и верхним положением поршня, когда камера минимальна. Высокий коэффициент сжатия обычно означает большую мощность.
Высокий коэффициент сжатия в контексте квантовой физики означает, что частица с большей вероятностью будет найдена в данном объёме в её конечном состоянии.
Почему?
Один из способов об этом думать заключается в том, что если динамика частицы заставляет её перейти из большего объёма в меньший объём вероятных положений, то она с большей вероятностью будет найдена в конечном объёме. Ранние физики просто предполагали, что эти объёмы одинаковы, то есть динамика такова, что частица не более ограничена в объёме, когда она прибывает куда-то, чем когда она отправляется. Но это верно только для свободных частиц, таких как электрон в коробке. Электрон находится где-то в коробке, отскакивая от стен, в начале, и вероятность его нахождения где-то в коробке к концу не меняется.
В случае двойной щели коэффициент сжатия определяется тем, насколько равноудалены щели от точки эмиссии. Если есть смещение в одну сторону, то частица с большей вероятностью будет найдена на стороне, ближней к эмиттеру.
Оказывается, что этот коэффициент сжатия необходим для того, чтобы уравнения Гамильтона-Якоби и Шрёдингера были равны для классической динамики геометрической оптики. Показать их равенство стандартным подходом Шрёдингера, Фейнмана и Дирака возможно только для свободных частиц, потому что в этом особом случае коэффициент сжатия равен единице. Трюк Шрёдингера, заключающийся в удалении равенства уравнения Гамильтона-Якоби с нулём и простой минимизации, решил эту проблему для него, но только путём "заметания её под ковёр".
Я потратил около двух часов, вникая в эту статью и размышляя, является ли она блестящей или тривиальной. В конце концов, я пришёл к выводу, что она всё же ближе к блестящей. Это захватывающе, потому что эта работа очень близка к тому, над чем я сейчас работаю в рамках классических подходов к квантовой гравитации в пяти измерениях. Я искал способ приравнять классическую геометрическую оптику к уравнению Шрёдингера (на самом деле к уравнению Уилера-ДеВитта, но до этого я пока не дошёл), но постоянно натыкался на препятствия, потому что стандартные подходы не позволяли это сделать. Анзац геометрической оптики, который так много физиков использовали в ранние дни, был ошибочным, потому что ему не хватало коэффициента сжатия. Вместо того чтобы суммировать многозначные классические действия, я ищу способ суммировать классические действия, параметризованные пятым измерением, но концепция остаётся той же. Я с нетерпением жду возможности включить эту статью в свои размышления.
Если вам нравится читать статьи на нашем канале и вы хотите помочь в его развитии, вы можете поддержать канал донатом:
