Рассмотрим прототип задания 8, где нужно посчитать количество слов (чисел), которые можно составить на определенных условиях.
Вот пример подобного задания из открытого банка ФИПИ:
Прежде, чем приступить к решению, вспомним немного комбинаторику.
Рассмотрим несколько типов комбинаторных задач.
1. Перестановки без повторов: существует N мест и на каждом месте может быть расположен один из N уникальных элементов (сущностей), порядок расположения элементов имеет значение. Сколько вариантов таких комбинаций существует?
Наверное, вы помните формулу — n! — количество возможных перестановок из n элементов.
Вспоминать формулы, а еще хуже — пользоваться шпорой— не столь эффективно, чем наглядно представлять суть явления.
Представим, что у нас есть три шарика разных цветов(красный, желтый, зеленый) и три пронумерованные коробки.
В первую коробку мы можем положить любой из трех шариков (3 варианта). Для второй коробки останется только 2 варианта, а в третью положим оставшийся шарик (1 вариант). А всего получится 1*2*3=6 вариантов расположения шариков.
И тут мы подходим к комбинаторным правилам :
"И" — правило умножения и
"ИЛИ" — правило сложения .
Если мы можем последовательно выполнить k действий, то эти шаги не противоречат друг другу (действия связаны союзом "И") и подразумевают возможность одновременного существования друг друга. Итоговое количество вариантов будет равно произведению количества способов каждого отдельного шага (3*2*1).
А вот если действия исключают друг друга (явления связаны союзом "ИЛИ" ), то количество способов реализации события в целом равно сумме количества вариантов каждого отдельного события. Мы не можем одновременно реализовать события, но любое из событий нам подходит.
Например, в первую коробку можно положить или красный, или желтый, или зеленый. Значит 1+1+1=3 варианта.
2. Перестановки с повторами.
Пусть теперь у нас не три шарика, а три корзины, в каждой из которых много шариков одного цвета. Сколько способов заполнить три пронумерованные коробки шариками любого цвета?
Дерево вариантов (возможностей), на мой взгляд, очень хорошо демонстрирует правило сложения и умножения. По вертикали шарики конкурируют между собой, мы выбираем только один из возможных вариантов и количество подходящих суммируем. А по горизонтали, каждой выбранной позиции может соответствовать несколько вариантов последующей позиции. Можно нарисовать полностью дерево вариантов для следующей позиции и просуммировать по вертикали, но эффективней воспользоваться умножением.
Теперь, для перестановок с повторами пусть для первой коробки можно выбрать только желтый или зеленый шарик. Как изменится ответ? Очевидно, что 2*3*3=18 способов.
3. Размещения
Допустим, что вариантов шариков теперь больше, чем позиций для их размещения. Например, добавим белых и черных шариков, а коробок так и оставим три.
Представив дерево вариантов, получим, что если повтор цвета не разрешен, то будет 5*4*3=60 способов размещения, а если можно пользоваться одним цветом несколько раз, то будет: 5*5*5=125 способов.
Такого понимания "на пальцах" вполне достаточно, чтобы справиться с данным прототипом задания 8.
Вернемся к заданию с Васей.
По условию буква К встречается в слове из 6 букв только один раз, значит возможны 6 способов ее размещения и эти способы связаны союзом "или":
Для оставшихся позиций возможны только 2 варианта букв ("О" , "Т").
Получаем ответ 6*32=192.
Аналогичная задачка:
32+32+32+32+32=5*32=160
Попробуйте решить сами:
Иногда в этом прототипе задания вместо букв используются цифры. Принцип решения - тот же:
Для чисел нужно учитывать, что 0 не может быть первым. Ведь если он стоит в начале, то пятизначное число превратиться в четырехзначное.
Потренируйтесь: