В первой статье цикла мы определили, что такое множество и что с ним можно сделать. Во второй статье цикла мы рассмотрели, что такое функция и какая она может быть. Теперь мы подойдём к теме, ради которой я, в основном, и делал весь цикл. Иронично, но некоторые из этих тем выйдут обособленно от цикла.
Тема сегодняшней статьи настолько абстрактна, хотя и завораживающая, что я предупреждаю - некоторые моменты могут быть непонятны без прочтения первых двух статей цикла. Да, я постараюсь сделать материал максимально понятным, но не гарантирую понимания без предыдущих статей.
В данной статье мы рассмотрим тему мощности множества, булеана множества, конечности и бесконечности множества, почему биекции важны, тему кардинальных чисел и подойдём вплотную к гипотезе, которая некогда числилась первой в списке 23 проблем Гильберта - главного списка математических вопросов прошлого тысячелетия - а сформулирована была основателем Теории Множеств, Георгом Кантором.
Итак, начнём наш путь к... бесконечности.
МОЩНОСТЬ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА.
По сути, вся данная статья будет посвящена именно мощности множеств. Определение данного свойства для разных множеств различаются и поэтому мы начнём с конечного множества.
Итак, КОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО - это множество, содержащее некое натуральное число элементов или не содержащее элементов (последнее - уникальное свойство пустого множества ∅). Количество элементов такого множества называют МОЩНОСТЬЮ МНОЖЕСТВА или КАРДИНАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ МНОЖЕСТВА. Мощность множества A обозначают |A|.
Пусть G - множество всех возможных оценок по пятибалльной шкале. Значит G = {1, 2, 3, 4, 5}. Как мы можем видеть, множество G содержит всего 5 элементов. Значит |G| = 5. Также, пусть D - множество всех дней високосного года. Мы знаем, что в високосном году 366 дней. Значит |D| = 366. Стоит заметить, что даже если множество ну ооочень большое (например K - множество всех людей на Земле), но мы всё ещё знаем, что мы можем посчитать все элементы этого множества и получить некоторое натуральное число (|K| ≈ 10 млрд), данное множество всё равно будет конечным
БУЛЕАН МНОЖЕСТВА.
Лично мне привычнее формулировка "множество всех подмножеств", но слово "булеан" короче. Итак, БУЛЕАНОМ множества A называется множество, состоящее из всех тех и только тех множеств, которые являются подмножествами A, то есть {B | B ⊆ A}. Булеан множества A обычно обозначается P(A) или 2^A.
Например, для вышеупомянутого множества G булеаном будет следующее множество P(G) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}}. Заметьте, что каждое множество, которое является элементом P(G), является одним из подмножеств G, и не существует никаких других подмножеств G. Грубо говоря, P(G) - множество всех возможных наборов оценок, который мы можем выбрать из G. Аналогично P(D) - множество всех возможных наборов дней, которые мы можем выбрать из дней високосного года.
Можно было заметить, что, хотя |G| = 5, что немного, |P(G)| = 32, что уже довольно много - в 6,4 раз больше. Вообще говоря, P(A) - это множество, состоящее из всех подмножество A мощностью 0, всех мощностью 1, мощностью 2 и так далее вплоть до мощности |A|, поскольку A ⊆ A. При этом, количество подмножеств мощностью 1 для A - количество способов выбрать 1 элемент из всех элементов A. Количество подмножеств мощностью 2 для A - количество способов выбрать пару элементов из всех элементов A. Вообще, количество подмножеств мощностью n для A - количество способов выбрать n элементов из |A| элементов. Пользуясь определением биномиального коэффициента и свойствами треугольника Паскаля можно показать, что |P(A)| = 2^|A|, откуда и берётся одно из обозначений булеана. Мы могли уже это заметить, ведь |G| = 5, а |P(G)| = 32 = 2^5 = 2^|G|.
МОЩНОСТЬ БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА.
Нетрудно заметить, что не все множества являются конечными. Например, очевидно, что множество всех натуральных чисел ℕ - бесконечно, ведь если предположить, что оно конечно, мы всё равно сможем прибавить к наибольшему натуральному числу 1 и получить ещё большее натуральное число и как бы "увеличить" мощность множества. Если множество не является конечным, его называют БЕСКОНЕЧНЫМ МНОЖЕСТВОМ. Типичными бесконечными множествами являются все основные числовые множества: натуральные числа ℕ, целые числа ℤ, рациональные числа ℚ, действительные числа ℝ и комплексные числа ℂ.
В данной секции стоило бы сказать о потенциальной и актуальной бесконечности, хотя я сам не слишком сведущ в этой теме, да и она довольно философская. Мы можем сказать, что, например, ℕ бесконечно потенциально, ведь какое бы натуральное число мы не взяли, это же число в сумме с единицей будет большим натуральным числом. Однако мы не можем сказать, что ℕ бесконечно актуально, ведь не существует некого натурального числа большего, чем все другие (по тем же причинам). Во всей математике превалирует понятие потенциальной бесконечности.
Итак, вот мы и подобрались к понятию мощности бесконечного множества. Наименьшим кардинальным числом, которое может иметь бесконечное множество, считается |ℕ|, обозначаемое ℵ0 (Алеф-ноль).
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВ.
Рассмотрим множества A = {1, 2, 3} и B = {1, 2}, |A| = 3 и |B| = 2. Можем ли мы придумать такую функцию f: A → B, чтобы f была инъекцией? Если для каждого элемента из A у нас должен иметься некоторый элемент из B, то мы - по принципу Дирихле - не сможем распределить всё это так, чтобы никакие два элемента A не имели значением функции одинаковый элемент B, то есть, чтобы f была инъекцией. Вообще, говорят, что |A| МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНО |B| тогда и только тогда, когда существует инъекция f: A → B. Это записывают, как |A| ⩽ |B|. Это определение логично, ведь если A содержит больше элементов, чем B, то - по принципу Дирихле - всегда найдётся хотя бы одна пара разных аргументов, имеющих одинаковое значение функции.
Теперь рассмотрим множества A = {1, 2, 3} и B = {1, 2, 3, 4}, |A| = 3 и |B| = 4. Можем ли мы придумать функцию f: A → B такую, чтобы f была сюръекцией? Если каждому элементу B должен соответствовать некоторый элемент A, то - по принципу Дирихле - найдётся хотя бы одна пара разных значений функции, "делящих" одно значение аргумента. Но если это так, то f - не функция, ведь имеются две пары с одинаковой первой и разными вторыми координатами. Значит мы не сможем придумать сюръекцию f: A → B. Вообще, говорят, что |A| БОЛЬШЕ ИЛИ РАВНО |B| тогда и только тогда, когда существует сюръекция f: A → B. Записывают в таких случаях |A| ⩾ |B|. Это также логично, ведь если A содержит меньше элементов, чем B, то - по принципу Дирихле - всегда найдётся пара значений функции, которые должны будут "делить" одно значение аргумента, от чего f не будет функцией.
Теперь же рассмотрим множества A = {1, 2, 3, 4} и B = {1, 2, 3, 4}, |A| = 4 и |B| = 4. Можем ли быть придумать функцию f: A → B такую, чтобы f была биекцией? Да, например f = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. Заметим, что если бы A или B имели неравное количество элементов, мы не смогли бы придумать либо инъекцию, либо сюръекцию, а значит не смогли бы и биекцию. Вообще, говорят, что |A| РАВНО |B| или что A и B РАВНОМОЩНЫ тогда и только тогда, когда существует биекция f: A → B. Записывают в таких случаях |A| = |B|. В целом, это верно, ведь для существования инъекции необходимо |A| ⩽ |B|, а для сюръекции - |A| ⩾ |B|, то есть, единственным "пересечением", где выполняются оба условия, является ситуация, когда |A| = |B|.
Стоит отметить, что использование биекции для доказательства равномощности - это практически самое древнее средство, напоминающее математику. Например, пусть у нас есть два пастуха, которые не умеют считать. Один разводит чёрных баранов, другой - белых. Могут ли они, не используя счёт, узнать одинаковое ли у них количество баранов? Самым простым решением будет поставить всех чёрных баранов напротив белых «один к одному». Если после этого не останется лишних баранов без пары, то баранов, очевидно, одинаковое количество. По сути, такое сопоставление между баранами - биекция между множеством белых баранов и множеством чёрных баранов.
ФУНКЦИЯ ИДЕНТИЧНОСТИ. МОЩНОСТИ ПОДМНОЖЕСТВ
Не слишком невероятным, но довольно важным шагом на нашем пути в бесконечность является задание ФУНКЦИИ ИДЕНТИЧНОСТИ i: A → B, причём i = {(x, x) | x ∈ A}, то есть это такая функция, значением которой является её же аргумент: i(x) = x. Нетрудно заметить, что эта функция инъективна при определении на любом множестве A, ведь если (x, x) = (y, y), очевидно, x = y.
Более важным является то, что, фактически, существование функции идентичности для множеств A и B означает, что A ⊆ B, поскольку если i: A → B и x ∉ B, то x ∉ A. Поскольку это именно логическое следование, обратным утверждением было бы, что нашёлся бы некий x ∈ A такой, что x ∉ B. Но в рамках i, если x ∈ A, то (x, x) ∈ i и x ∈ B. Значит, функция идентичности i: A → B существует тогда и только тогда, когда A ⊆ B.
Последний абзац, по сути, нужен исключительно для того, чтобы сказать, что если A ⊆ B, то гарантированно существует инъекция i: A → B, а значит |A| ⩽ |B|. В целом, это логично: было бы странно, если бы часть множества была бы больше самого множества (мы припомним это в следующей статье).
Заметим, что, поскольку ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ, мы имеем |ℕ| ⩽ |ℤ| ⩽ |ℚ| ⩽ |ℝ| ⩽ |ℂ|.
ПЕРВОЕ СРАВНЕНИЕ. МНОЖЕСТВО ЧЁТНЫХ И НЕЧЁТНЫХ ЧИСЕЛ.
Итак, теперь, владея знаниями про то, как связаны свойства функции и мощности множеств, мы можем начать погружение в пучины странностей бесконечных множеств.
Первым пунктом на нашем пути в бесконечность будет сравнение мощностей множеств всех чётных чисел O = {2k | k ∈ ℤ} и нечётных чисел E = {2k+1 | k ∈ ℤ}. Поскольку любое целое число либо чётное, либо нечётное, интуитивно кажется, что их должно быть примерно поровну. Но мы не интуиционисты, поэтому попробуем доказать это. Изобразим оба множества:
В целом, глядя на схему и на формулы для k-того чётного и нечётного числа, мы можем заметить, что k-тое нечётное число отличается на 1 от k-того чётного числа.
Тогда пусть f - это функция такая, что f: O → E и f(x) = x - 1. Исследуем эту функцию. Проверим её на инъективность. Если f(x) = f(y), то x - 1 = y - 1 и x = y. Значит f - инъекция. Теперь проверим на сюръективность. Если f(x) = y, то x - 1 = y и x = y + 1. То есть, для каждого y имеется аргумент y + 1: f(y + 1) = y. То есть, функция сюръективна. А если f - одновременно и инъекция, и сюръекция, то f - это биекция. Значит, учитывая основную суть биекции, мы имеем, что существует биекция из O в E, а значит O и E равномощны (|O| = |E|), ведь каждому чётному числу мы можем сопоставить некоторое число из E и у нас не останется лишних чётных или нечётных чисел без пары. Грубо говоря, существует одинаковое количество чётных и нечётных чисел. Уже прогресс!
ПЕРВЫЕ СТРАННОСТИ. МНОЖЕСТВО ЧЁТНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И МНОЖЕСТВО ВСЕХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА.
А что, если сравнить множество и его часть? Например, множество всех чётных натуральных чисел O = {2k | k ∈ ℕ} и всех натуральных чисел ℕ. Интуитивно кажется, что чётных чисел должно быть в два раза меньше, чем всех натуральных чисел - у нас же есть ещё и нечётные числа! Заметим, что O ⊆ ℕ и |O| ⩽ |ℕ|, ведь для O и ℕ определена функция идентичности. Ну вот же - мощность чётных чисел меньше или равна натуральным, всё сходится!
Но давайте посмотрим внимательно. Да, если изобразить множества так:
То кажется очевидным, что чётных натуральных чисел меньше, чем всех натуральных. Но мы же не лентяи - мы нарисуем это по-другому. Уберём лишние "пробелы" и получим такое изображение:
Ага! Теперь они уже кажутся чем-то более близким по "размеру". Но всё ещё надо бы доказать. Заметим, что на картинке каждому чётному числу сопоставлено натуральное число в 2 раза меньше. Можем ли мы так сделать для всех чётных чисел?
Пусть f: O → ℕ и f(x) = x/2. Во-первых, любое натуральное чётное число n можно представить в виде 2k, где k ∈ ℕ - это определение. Значит n/2 = 2k/2 = k - тоже натуральное число. Значит область значений мы определили правильно. Теперь проверим функцию на инъективность: если f(x) = f(y), то x/2 = y/2 и x = y. Значит f - инъекция. Проверим на сюръективность: если f(x) = y, то x/2 = y и x = 2y. Значит для любого y есть аргумент 2y такой, что f(2y) = y. Значит функция ещё и сюръекция. Получаем, что f - биекция. Но если из O в ℕ существует биекция, значит эти множества равномощны и, грубо говоря, существует равное количество чётных натуральных чисел и всех натуральных чисел... что, простите?
Ты чего, математик, не видишь, что чётных чисел должно быть в 2 раза меньше? Софизм? Абстракция? Да, второе. При работе с бесконечными множествами у нас часто получаются парадоксальные результаты. Но из этих парадоксов мы получаем новое, более формальное определение бесконечного множества.
БЕСКОНЕЧНЫМ МНОЖЕСТВОМ называют множество, равномощное некоторому своему СТРОГОМУ подмножеству (строгое подмножество - это такое подмножество, которое не равно оригинальному множеству). То есть, если A ⊂ B и |A| = |B|, то B - бесконечное множество и его кардинальное число - одно из бесконечных. В целом, это определение эквивалентно данному ранее, ведь множество либо конечное, либо бесконечное, а ни для какого конечного множества такие свойства невозможны. Почему? Ну, если множество B конечно, то |B| = n, где n ∈ ℕ. Если A ⊂ B, то |A| ⩽ |B| и при этом |A| ≠ |B|, а значит |A| < |B|. А если |A| < |B|, то самый вообще максимум, который может принимать |A| - это n-1. Таким образом, упомянутые два определения бесконечного множества («равномощное своей части/строгому подмножеству» и «не конечное») эквивалентны.
ЕЩЁ СТРАННОСТИ. МНОЖЕСТВО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. СЧЁТНЫЕ МНОЖЕСТВА И СПИСКИ.
Хорошо, теперь возьмём множество ещё поменьше - множество всех простых чисел P. Мы знаем, что P ⊆ ℕ, и что P достаточно мало по сравнению с ℕ. Например, среди первой тысячи натуральных чисел простых чисел только 168. Но при этом бесконечность множества простых чисел была доказана крайне давно ещё Евклидом (теорема Евклида). То есть, хотя оба множества бесконечны, интуитивно кажется, что "бесконечность простых чисел" как бы меньше, чем "бесконечность натуральных чисел". В самом деле, если P ⊆ ℕ, то |P| ⩽ |ℕ|. Да и если мы попытаемся придумать какую-то "числовую" функцию f: P → ℕ мы максимум покажем, что f - инъекция. Что же делать? Неужели |P| < |ℕ|?
Теперь можно ввести, что множества, равномощные ℕ, называют СЧЁТНЫМИ, причём не просто так. Основное свойства натуральных чисел состоит в том, что они как бы "природные" и именно с их помощью мы можем посчитать, например, множество яблок. Что мы обычно делаем, чтобы посчитать яблоки? Мы выстраиваем их в ряд и буквально считаем: первое, второе, третье яблоко...
Если мы можем выстроить вообще все элементы множества в виде некоторого списка, сохраняющего чёткий порядок, то мы каждому элементу этого множества сопоставить натуральное число, обозначающее номер элемента в списке: первый элемент, второй элемент, третий и так далее.
Теперь посмотрим на множество простых чисел P. Можем ли мы придумать список, в котором мы поставим по порядку все простые числа? Да, можем. Самым простым (иронично) таким списком будет список всех простых чисел в порядке возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 и так далее. Есть порядок, есть список. Значит каждому простому числу мы можем сопоставить его уникальный порядковый номер в виде натурального числа. Видели? Мы упомянули слова «каждому» и «уникальный» - основные понятия функции (для каждого значения аргумента имеется значение функции) и инъекции (каждому значению аргумента соответствует уникальное значение функции). А где сюръекция? Собрав простые числа в порядке возрастания, поскольку их бесконечно много, для каждого натурального порядкового номера в списке будет иметься простое число с таких номером. А упоминание «каждого натурального" уже означает, что такое сопоставление сюръективно. То есть, если f - функция такая, что f: P → ℕ и f
f = {(x, n) | x ∈ P и n - порядковый номер числа в списке простых чисел в порядке возрастания}, то f - биекция и |P| = |ℕ| = ℵ0, а значит P - счётное множество.
МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Да, множество целых чисел ℤ больше в 2 раза, чем ℕ, так ещё и содержит 0, но пример чётных натуральных и всех натуральных чисел показал, что равномощность таких множеств вполне возможна
Вспоминаем, что |ℕ| ⩽ |ℤ|, поскольку ℕ ⊆ ℤ. Есть два варианта, как задать биекцию f: ℤ → ℕ. Я приведу тот, что использует список. Итак, соберём все целые числа в список, который будет выглядеть так: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3 и так далее. То есть, в начале будет стоять 0, а далее будут чередоваться отрицательные и положительные числа с модулем, постепенно увеличивающимся. Инъективен ли такой список? Да - у каждого числа свой уникальный натуральный порядковый номер. Сюръективно ли? Да - если x < 0, то порядковым номером будет 2x, если x > 0, то порядковым номером будет 2x+1, а с нулём всё понятно. Значит из множества натуральных чисел в множество целых чисел существует биекция и |ℤ| = |ℕ| = ℵ0. Грубо говоря, целых чисел столько же, сколько натуральных.
ОЧЕНЬ СТРАННОЕ. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Ладно ещё целые числа - они всего в 2 раза "больше" множества натуральных. Но рациональные числа ℚ! Просто гляньте, как выглядят все натуральные числа от -6 до 6:
И как примерно выглядят все рациональные числа от -6 до 6:
Там точки, а здесь - прямая! Мы ведь можем взять отрезок [0; 1] - в нём содержится всего одно натуральное число 1, а рациональных чисел в нём больше, чем 10^1000000! Ну, может рациональных чисел всё же больше, чем натуральных?
Вспомним вообще определение множества рациональных чисел: ℚ = {x/y | x ∈ ℤ и y ∈ ℕ}. То есть, рациональное число - это число, являющееся результатом деления целого числа на натуральное. То есть, в целом, ℚ должно быть по мощности примерно как ℤ×ℕ. Это уже ближе к ℕ, чем казалось, но всё ещё далековато.
А теперь сделаем следующее. Соберём все рациональные числа в таблицу, где столбцы будут означать числитель в виде списка, который мы показали ранее: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3 и так далее - а строки будут означать знаменатель в виде списка натуральных чисел в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. В итоге получим такую структуру:
Эта структура содержит в себе все возможные комбинации x/y, где x - целое, а y - натуральное. То есть, эта структура содержит все возможные рациональные числа. Но можно заметить, что эта структура как бы двумерная, а список, с помощью которого мы могли бы в теории приравнять |ℚ| и |ℕ| - одномерный. Что делать? Проведём вот такую линию, которая как бы проходит по всем диагоналям структуры:
Следуя по этой линии, получим такой вот список: 0, -1, 0, 0, -1/2, 1, -2, 1/2, -1/3, 0 и так далее. Заметим, что у нас как бы имеется много значений порядкового номера для одинаковых аргументов и пока что мы не можем создать функцию из-за дубликатов. Просто уберём их и получим: 0, -1, -1/2, 1, -2, 1/2, -1/3, -1/4, 1/3 и так далее. Поскольку, следуя по линии, мы рано или поздно достигнем любого рационального числа, имеем, что функция f: ℚ → ℕ, где f(x) - натуральный порядковый номер, является сюръекцией. Также она является инъекцией, ведь каждое рациональное число после удаление повторений имеет свой уникальный натуральный порядковый номер в списке. То есть f - биекция и множества ℕ и ℚ... равномощны... то есть |ℚ| = |ℕ| = ℵ0... множество ℚ - счётное... и рациональных чисел столько же, сколько натуральных... кажется, мы наткнулись на нечто интересное.
Может быть, все бесконечности одинаковы и все бесконечные множества - счётные, равномощные ℕ?
ГРОМ СРЕДИ ЯСНОГО НЕБА. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ДИАГОНАЛЬНЫЙ АРГУМЕНТ КАНТОРА.
Хорошо, какое числовое множество у нас дальше? Действительные числа ℝ? Ладно, погнали!
Так... попробуем выстроить числа в список: 1, ф, 2, e, 3, п, 4... А где sqrt(2)? Добавим: 1, sqrt(2), ф, 2, e, 3, п, 4. А где sqrt(3)? А sqrt(5)? А sqrt(sqrt(sqrt(...sqrt(2)...))? А п/e?
Со списком вышло всё как-то не очень. Может, можно придумать функцию? Вы можете попробовать, но вряд ли у вас получится.
Хорошо. Кажется, мы упёрлись в некое «дно», где множества больше не счётные. Но так ли это? Можем ли мы доказать, что |ℝ| > |ℕ|? Тут мы снова возвращаемся к основателю Теории Множеств - Георгу Кантору. Он придумал следующую схему доказательства:
Предположим, что биекция f: ℝ → ℕ существует и |ℝ| = ℵ0. Тогда, по определению биекции, каждому действительному числу мы можем сопоставить некоторое натуральное. Вспомним, что любое действительное число можно записать, как бесконечную периодическую (например, 1/3 = 0,333333…) или непериодическую (например, п = 3,1415926…) десятичную дробь. Поскольку (0, 1) ⊂ ℝ, имеем, в купе с нашим предположением |ℝ| = ℵ0, следующее: |(0, 1)| ⩽ |ℝ| = ℵ0. То есть, мы имеем, что существует такое сопоставление, что каждому числу из (0, 1) мы можем сопоставить некое натуральное число и у нас ещё могут остаться натуральные числа. Считая конечные десятичные дроби (например, ½), как имеющие 0 в периоде, попробуем это сделать в виде такой таблицы:
Неужели мы это сделали? Урааа! Хотя подождите. Все ли числа из (0, 1) мы таким образом перечислили? Сконструируем некоторое число по следующим правилам: n-ная цифра после нуля в нашем новом числе будет равна единице, если на этом месте в n-ном числе стоит ноль, и будет равна нулю, если на этом месте в n-ном чисел не стоит 0. Назовём наше новое число a.
Теперь подумаем, что может значить, что некоторые две десятичные дроби равны. По сути, это равносильно тому, что все их цифры совпадают: первая цифра, вторая цифра - все цифры. Тогда сравним число a с числами, которые мы сопоставили: от первого оно отличается первой цифрой после запятой, от второго - второй, от третьего - третьей и, вообще, от n-ного - n-ной цифрой после запятой. То есть, как бы мы не расставили такой набор действительных чисел из (0, 1), у нас будет некое действительное число из (0, 1), которое мы не сопоставили натуральному.
Ну хорошо - можно же просто добавить это число в начало, а остальные подвинуть на 1 «вниз». Что ж, сделаем так и по аналогичному алгоритму построим число b. Но и число b теперь отличается от всех в нашем списке. Добавим и его в список. Но тогда аналогичное число c будет отличаться от всех в списке. Вообще говоря, вне зависимости от того, как мы сопоставим действительные числа из (0, 1) натуральным числам, всегда найдётся некоторое действительное число, которому мы не можем сопоставить натуральное число, причём добавление этого действительного числа в наш список проблему не решает! Противоречие, ведь мы предполагали ранее, что биекция существует!
Иными словами, какую бы функцию f: ℝ → ℕ мы не взяли, она НИКОГДА не будет биекцией! Зная, что |ℝ| ⩾ |ℕ|, и получив теперь |ℝ| ≠ |ℕ|, получаем единственный вывод: |ℝ| > |ℕ|. Бесконечные множества, мощность которых больше, чем мощность множества натуральных чисел, называют НЕСЧЁТНЫМИ. Мощность множеств, равномощных множеству действительных чисел, называют КОНТИНУУМОМ и обозначают ℵ1 (читается «Алеф-один»)(его чаще обозначают стилизованной буквой «c», но в статье этот символ не отображается).
Читатель мог заметить, что я пропустил шаг, где мы устанавливаем биекцию между интервалом (0, 1) и всеми действительными числами. Этот этап лично мне не кажется интересным. Функция f(x) = 2^x - биекция между ℝ и {x ∈ ℝ | x > 0} (последнее иногда обозначают ℝ+), а значит |ℝ+| = |ℝ|. Функция f(x) = x/(1+x) - биекция между (0, 1) и ℝ+, а значит |(0, 1)| = |ℝ+| = |ℝ|, то есть |ℝ| = ℵ1.
ДЕЙСТВИЯ СО МНОЖЕСТВАМИ И МОЩНОСТИ.
Очевидно, что действия со множествами как-то должны сказываться на их мощности. Рассмотрим эти связи:
Объединение двух счётных множеств также счётно. Пусть два множества A и B - счётные. Очевидно, элементы, входящие в A⋂B, никак не будут воздействовать на мощность итогового множества, поскольку они уже учтены в A. Поэтому пусть A⋂B = ∅, то есть у множеств нет общих элементов. Тогда, поскольку |A| = |ℕ| и |B| = |ℕ|, имеем |A| = |B|, а значит между A и B существует некая биекция f. Также, поскольку A счётно, мы можем расположить его элементы в виде списка с определённым порядком. Совместим эти два вывода и получим, что мы можем как бы «перемешать» элементы двух множеств: после каждого элемента из A мы поставим соответствующий ему по биекции f элемент из B. При этом, мы всё ещё получим список с определённым порядком, а значит объединение множеств A⋃B - счётное множество, то есть, если |A| = |B| = ℵ0, то |A⋃B| = ℵ0
Например, очевидно, что множество A = {3k | k ∈ ℤ} (все числа, делящиеся на 3) и множество B = {3k + 1 | k ∈ ℤ} (все числа, имеющие остаток 1 при делении на 3) - счётные. Из нашей небольшой теоремы получаем, что множество A⋃B = {3k, 3k+1 | k ∈ ℤ} также счётное.
В целом, мы можем сказать ровно из таких же предположений, что A⋂B либо конечно, либо счётно, то есть, что пересечение счётных множеств не может быть несчётным. Например, пересечением счётных множеств ℤ и ℕ будет счётное множество ℕ, а пересечением счётных множеств {x ∈ ℤ | x ⩾ 0} (неотрицательные целые числа) и {x ∈ ℤ | x ⩽ 0} (неположительные целые числа) будет конечное множество {0}. Но при этом верно, что A⋂B ⊆ A для любых множеств A и B, а значит |A⋂B| ⩽ |A|. Поскольку ℵ1 > ℵ0, не может быть, что |A| = ℵ0 одновременно с |A⋂B| ⩾ ℵ1.
Одновременно с этим, если хотя бы одно из множеств A и B несчётно, мы не сможем организовать A⋃B в список, а значит A⋃B - несчётно.
Про мощность A⋂B, если A или B несчётно, мы вообще ничего не можем сказать, кроме того, что |A⋂B| не может быть больше |A| или |B|.
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ СЧЁТНЫХ МНОЖЕСТВ И МОЩНОСТЬ.
В целом, мы уже успели доказать, что декартово произведение счётных множеств счётно, когда доказывали счётность множества рациональных чисел ℚ. Абсолютно идентичным алгоритмом можно доказать, что |ℕ²| = |ℕ| и, вообще, |A × B| = |ℕ|, если |A| = |B|= |ℕ|.
Но мы можем применить и математическую индукцию. Пусть A1, A2, A3, … An - некие счётные множества. Тогда мы точно знаем, что |A1| = |ℕ| и |A1× A2| = |ℕ|. Но теперь, сделаем вот как. Рассмотрим множество A1 × A2 × A3 × … × An и множество (A1 × A2 × A3 × … × An-1) × An и заметим, что мы можем составить биекцию f: (A1 × A2 × A3 × … × An-1) × An → A1 × A2 × A3 × … × An такую, что f(((a1, a2, a3, … , an-1), an)) = (a1, a2, a3, … , an), где a1, a2, a3, … , an - элементы A1, A2, … , An, соответственно. То есть, эта функция как бы «сжимает» пару из кортежа и одного элемента в ещё больший кортеж. Можно убедиться, что f - действительно биекция. Поскольку f - биекция, мы имеем, что |(A1 × A2 × A3 × … × An-1) × An| = |A1 × A2 × A3 × … × An|, то есть, что из этого нам нужно, если первое произведение счётно, то и второе - тоже. Теперь сделаем предположение, что A1 × A2 × A3 × … × An-1 - счётно. Поскольку мы можем представить его как многомерное, но всё ещё множество, то получаем, что (A1 × A2 × A3 × … × An-1) × An тоже счётно. А, учитывая, что |(A1 × A2 × A3 × … × An-1) × An| = |A1 × A2 × A3 × … × An|, мы находим индукционный шаг: если A1 × A2 × A3 × … × An-1 - счётно, то и A1 × A2 × A3 × … × An - счётно. Теперь, следуя индукции, делаем вывод: декартово произведение любого натурального числа счётных множеств также счётно.
Из последней теоремы мы получаем, что, например, ℚ^100000 - счётно, хотя это точки в стотысячемерном пространстве!
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ С МОЩНОСТЬЮ КОНТИНУУМА. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. РАВНОМОЩНОСТЬ ПРЯМОЙ И ДВАДЦАТИМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА.
В целом, очевидно, что если в произведении некого числа множеств найдётся хоть одно несчётное, то и результат произведения тоже будет несчётным. Однако для нас более интересен случай конкретно множеств мощность континуум. Пока что мы знаем только одно такое числовое множество - множество действительных чисел ℝ и его «подвиды» (а-ля ℝ+).
Заметим, что аргументацию, аналогичную использованной для счётных множеств мы уже использовать не сможем. Значит нужно придумать что-то ещё.
Тогда сделаем вот как. Представим себе квадрат, являющийся произведением (0, 1)×(0, 1). Квадратом это будет, поскольку такое произведение, по сути, включает в себя все точки на плоскости, чьи координаты ограничены сторонами квадрата. Он будет выглядеть вот так:
Теперь сделаем вот как. Возьмём некую точку O(x, y) внутри квадрата. Обозначим как x1, x2, x3, … , xn и y1, y2, y3, … , yn первую, вторую, и так далее все цифры после запятой в числах x и y. Конечные десятичные дроби будем считать, как имеющие 0 в периоде. Теперь построим число z, выглядящее вот так: z = 0,x1y1x2y2x3y3… . То есть, на месте n-ной нечётной цифры числа z будет стоять n-ная цифра из числа x, а на чётных местах - цифры y. Можно заметить, что такое превращение двух чисел x и y в одно число z, по сути, является функцией f: (0, 1)×(0, 1) → (0, 1). Заметим, что если f((x, y)) = z и f((a, b)) = c, и при этом (a, b) ≠ (x, y), то у чисел z и c будет хотя бы одна отличающаяся цифра и z ≠ c. То есть, f - инъктивна. Аналогично, если f((x, y)) = z, то, зная z, мы можем составить число x из его цифр на нечётных местах и число y из цифр на чётных местах, причём это работает для любого z из (0, 1). То есть, f - ещё и сюръективна. То есть, вообще, f - биекция, а значит |(0, 1)×(0, 1)| = |(0, 1)| = |ℝ|.
Но аналогично тому, как мы приравняли |(0,1)|, |ℝ+| и |ℝ|, мы можем приравнять и |(0, 1)²|, |ℝ+²| и |ℝ²|, используя аналогичные биекции, но для двух переменных. То есть, мы можем установить биекцию между ℝ² и (0, 1)², а значит |ℝ²| = |ℝ| = ℵ1. То есть, грубо говоря, на всей действительной плоскости, столько же точек, сколько на прямой!
Однако стоит отметить, что все наши операции мы можем проделать для, вообще, любого n-мерного пространства, где n - натуральное число. Для этого при сравнении (0, 1) и (0, 1)^n просто нужно «замешивать» в число z установленное количество n координат, а для биекции использовать n переменных. Таким образом, мы можем доказать, что |ℝ^n| = |ℝ|. То есть, вполне справедливо сказать, что в двадцатимерном пространстве ℝ^(20) столько же точек, сколько на простой прямой ℝ!
БУЛЕАН МНОЖЕСТВА И ЕГО МОЩНОСТЬ. ТЕОРЕМА КАНТОРА.
Пожалуй, самой интересной операцией с точки зрения мощностей множеств является именно взятия булеана.
Одной из первых теорем, доказанных для Теории Множеств, стала Теорема Кантора. Она формулируется так: «мощность булеана множества всегда больше, чем мощность исходного множества». Для понимания введём вспомогательный термин. ЕДИНИЧНЫМ МНОЖЕСТВОМ b назовём множество, содержащее всего один элемент b, то есть множество {b}.
Итак, пусть у нас имеется некоторое множество A и его булеан P(A). Тогда мы знаем, что P(A) содержит все единичные множества, состоящие из элементов A. Однако, как минимум, P(A), кроме элементов A, ещё содержит нулевое множество ∅, а также подмножества A из более, чем одного элемента. В том числе, если A - бесконечное множество, P(A) содержит ещё и бесконечное количество бесконечных подмножеств A, включая само множество A. Интуитивно кажется, что действительно |P(A)| > |A|. Но надо доказать!
Итак, сначала представим инъекцию f: A → P(A), где f(x) = {x}. Поскольку все единичные подмножества множества A содержатся в P(A) и f, очевидно, инъективна, имеем, что |A| ⩽ |P(A)|. Осталось доказать, что неравенство строгое.
Теперь докажем, что невозможно существование биекции f: A → P(A). Докажем от противного. Предположим, что такая биекция f существует. Если это биекция, то каждому элементу A она сопоставляет уникальное подмножество A. Тогда рассмотрим множество B = {x ∈ A: x ∉ f(x)}, то есть множество всех элементов A, которые отсутствуют в подмножестве, которое им сопоставляется. Но при этом B - само подмножество A, а значит B ∈ P(A) и существует некоторый элемент множества A, который обозначим y, которому сопоставляется подмножество B. Очевидно, что элемент y обязательно обладает одним из свойств: либо y ∈ B, либо y ∉ B - и не может не обладать ни одним из них. Тогда предположим, что y ∈ B. Но тогда y ∈ f(y), по определению y, что вступает в противоречие с логическим правилом B. Значит невозможно, чтобы y ∈ B. Тогда предположим, что y ∉ B. Но это значит, что y ∉ f(y) и y обязано находиться в B по логическому правилу. Опять противоречие. Но тогда не выполняется ни y ∈ B, ни y ∉ B. Противоречие. Значит такого y не существует. Но если не существует такого y, что f(y) = B, но при этом B ⊆ A, то это значит, что f - не сюръекция и, следовательно, не биекция. Значит не может быть такого, что |A| = |P(A)|. Значит, в купе с известным нам фактом, что |A| ⩽ |P(A)|, получаем, что для любого множества A верно |A| < |P(A)|. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА КАНТОРА-БЕРНШТЕЙНА-ШРЁДЕРА.
И вот, мы на финишной прямой. Честно, я не уверен, что я на все 100% понимаю доказательство теоремы (пришлось раз 5 перечитывать доказательство перед написанием этой части статьи), но постараюсь его тут изложить. Самое главное здесь - прослеживать что и куда отображается.
Итак, теорема утверждает: «Если существует инъекция f: A → B и существует инъекция g: B → A, то существует биекция h: A → B». Довольно смелое заявление, но теорема достаточно простая в своей концепции, ведь такие инъекции говорят, что |A| ⩽ |B| и |B| ⩽ |A|. Если бы это были обычные числа, а не кардинальные, мы бы легко сказали, что единственный тогда возможный варинат - |A| = |B|, то есть биекция существует. Но мы должны рассмотреть формальное доказательство именно для случая кардинальных чисел.
Рассмотрим данные в условии теоремы инъекции. Функция f переводит некое подмножество A в некоторое подмножество B, функция g переводит некое подмножество B в некоторое подмножество A. То есть, функция f как бы «помещает» часть или всё множество A внутрь B, аналогично с функцией g и множествами A и B.
Итак, имеем, что функция g: B → g(B) - биекция (думаю, кому было интересно, решали вопросы в конце прошлой статьи). Если такой вариант g - биекция, то существует и обратная функция g^-1: g(B) → B, конечно же, тоже биекция.
Следующий шаг предполагает довольно объёмную формулу, которую я напрямую скопирую из книги «Book of Proof» Ричарда Хаммака. Итак пусть G ⊆ A, причём:
Разберём эту запись. Часть «A - g(B)» фактически читается так: «разность множества A и отображения множества B через функцию g» - и означает некое множество состоящее из элементов A, которых нет среди отображения B. То есть, это как бы та часть A, которая остаётся при отображении в него B.
Далее, часть «(g ∘ f)^k» - это сокращение. Имеется в виду, что (g ∘ f)^0 - функция идентичности, (g ∘ f)^1 = g ∘ f, (g ∘ f)² = g ∘ f ∘ g ∘ f, (g ∘ f)³ = g ∘ f ∘ g ∘ f ∘ g ∘ f и так далее. То есть (g ∘ f)^k - это применение композиции g ∘ f к аргументу k раз. Отметим, что (g ∘ f)^k: A → A, то есть такая композиция, какое бы больше k не было, переносит часть множества A обратно во множество A. Также заметим, что (g ∘ f)^k - инъекция, ведь обе функции, входящие в композицию - тоже инъекции.
Также первые несколько символов, похожие на символ объединения, обозначают объединение результатов всех вариантов выражения (g ∘ f)^k (A - g(B)) при k ⩾ 0. То есть, это сокращение от записи «(g ∘ f)^0 (A - g(B)) ⋃ (g ∘ f)^1 (A - g(B)) ⋃ (g ∘ f)² (A - g(B)) ⋃ (g ∘ f)³ (A - g(B)) ⋃…».
Значит вместе первые две части «(g ∘ f)^k (A - g(B))» формально означает отображение разности множеств A и g(B) композицией (g ∘ f)^k. Но наглядное отображение для этого тоже есть! Если подумать, каждая итерация (g ∘ f)^k помещает множество (g ∘ f)^(k-1) (A - g(B)) обратно во множество A, причём (g ∘ f)^0 (A - g(B)) - это сама разность A - g(B). Графически это выглядит так, где серая часть - это результат (g ∘ f)^k (A - g(B)):
Вообще, конечные результат, где k стремиться к бесконечности, будет выглядеть примерно вот так:
И, соответственно, серая часть этой картинки - множество G. Обозначим также W = A - G, то есть вся часть множества A, не вошедшая в G. Множеству W соответствуют белые части иллюстраций. Соответственно, A = G⋃W, поскольку W - дополнение G.
Теперь создадим такую функцию h, что h(x) = f(x), если x ∈ G, и h(x) = g^-1(x), если x ∈ W. Заметим, что это всё работает, поскольку g^-1 определена только на множестве g(B), а если x ∈ W, то x ∉ G и x ∉ A - g(B), а значит x ∈ g(B). Теперь для доказательства теоремы осталось доказать, что h: A → B - биекция.
Вспомним, что для доказательства инъективности мы должны показать, что из h(x) = h(y) следует, что x = y. Для этого рассмотрим три возможных случая:
- Возможно x ∈ G и y ∈ G. Если это так, то h(x) = h(y) значит, что f(x) = f(y). Поскольку f - инъекция, то x = y, а значит и h в таком случае может быть инъекцией
- Возможно x ∈ W и y ∈ W. Если это так, то g^-1(x) = g^-1(y). Применив функцию g к обеим сторонам (предоставляю читателю подумать, почему во всех тех случаях и только в тех случаях, когда мы применяем инъективные функции к равенствам, они остаются равенствами) мы получим, что g(g^-1(x)) = g(g^-1(y)), а поскольку для любой биекции j имеем j(j^-1(a)) = a, то имеем x = y. Значит в таком случае h может быть инъекцией
- Возможно x ∈ G и y ∈ W. Из того, как мы определили G, следует, что x = (g ∘ f)^k (z) для некого неотрицательного k и некого z ∈ A - g(B). Заметим, что теперь h(x) = h(y) означает f(x) = g^-1(y), а значит f((g ∘ f)^k (z)) = g^-1 (y). Теперь применим g к обеим сторонам: (g ∘ f)((g ∘ f)^k (z)) = y. Но это также значит, что (g ∘ f)^(k+1) (z) = y. Теперь обратим внимание, что (g ∘ f)^(k+1) (z) ∈ G, но y ∈ W. Однако если x = y, то они должны находиться в одном и том же множестве: либо оба в G, либо оба в W - а значит случая «x ∈ G и y ∈ W» не может быть
Итак, поскольку во всех двух возможных случаях мы доказали, что h сохраняет инъективность, мы можем сказать, что h - инъекция.
Теперь нам нужно доказать, что h - сюръекция, то есть для любого b ∈ B существует некий x ∈ A такой, что h(x) = y. Заметим, что g(b) ∈ A, а значит либо g(b) ∈ W, либо g(b) ∈ G. Рассмотрим эти два случая:
- Возможно g(b) ∈ W. В таком случае h(g(b)) = g^-1(g(b)) = b. В таком случае получаем h(x) = b, где x = g(b).
- Возможно g(b) ∈ G. В таком случае для некого неотрицательного k и некого z ∈ A - g(B) имеем g(b) = (g ∘ f)^k (z). При этом мы можем преобразовать это выражение: g(b) = (g ∘ f)^k (z) = (g ∘ f)((g ∘ f)^(k-1) (z)) = g(f((g ∘ f)^(k-1) (z))). Однако, поскольку g - инъекция, мы можем говорить, что если g(a) = g(e), то a = e. Значит имеем b = f((g ∘ f)^(k-1) (z)). Тогда пусть x = (g ∘ f)^(k-1) (z). Заметим, что x ∈ G, по определению G. Но если x ∈ G, то h(x) = f(x). То есть, b = f(x) = h(x).
То есть, поскольку h сохраняет свойства сюръекции во всех возможных случаях, мы можем сказать, что h - сюръекция. А поскольку h - инъекция и сюръекция, имеем, что h - биекция. А если h - биекция, то, поскольку она существует, имеем, что |A| = |B|. Теорема доказана.
Пожалуй, это пока что самая сложная теорема, которую я вообще изучал. Лично у меня её понимание заняло около трёх дней почти постоянного изучения. Но именно эта теорема необходима нам для следующего шага.
РАВНОМОЩНОСТЬ БУЛЕАНА МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
В целом, в названии всё написано, да и мы уже видели, что булеан всегда имеет мощность больше исходного. Но как это доказать? Неужели мы можем придумать какую-то биекцию для множеств P(ℕ) и ℝ? Нет, может мы и можем, но мы используем теорему Кантора-Бернштейна-Шрёдера, благодаря которой нам будет достаточно просто найти две инъекции!
Итак, для начала, вспомним, что |ℝ| = [0, 1), а значит нам достаточно будет найти обе инъекции с данным интервалом и потом приравнять мощности. Пункт с доказательством |[0, 1)| = |ℝ| мы опустим, ведь, поскольку |(0, 1)| ⩽ |[0, 1)| ⩽ |ℝ| и |(0, 1)| = |ℝ|, это очевидно.
- Итак, найдём инъекцию f: [0, 1) → P(ℕ). Как её можно сформировать? Ну, мы всё ещё помним, что все числа в интервале [0, 1) представляются в виде бесконечных десятичных дробей. Отлично. Тогда пусть f(x) будет равно множеству, содержащему число a*(10^n), где a - n-ная цифра после запятой в записи x. Например, f(½) = {50}, f(1/e) = {30, 600, 7000, 80000, …}, f(1/п) = {30, 100, 8000, 30000, 0, …}. Если десятичные записи чисел x и y отличаются хотя бы на одну цифру, то f(x) ≠ f(y), а также x ≠ y, а значит f - действительно инъекция.
- Теперь найдём инъекцию g: P(ℕ) → [0, 1). Пусть g(X) (где X ∈ P(ℕ), а значит X ⊆ ℕ) будет равно бесконечной десятичной дроби, где n-ная цифра будет равна 1, если n-ное натуральное число (то есть само n) имеется в X, и будет равна 0, если отсутствует. Тогда, например, g({1, 2, 3, 4, 5}) = 0,11111000…, g({2, 3, 5, 7}) = 0,0110101000… и, соответственно g(∅) = 0. Можем заметить, что если g(X) ≠ g(Y), то набор натуральных чисел в X и Y отличается, а значит, по определению неравенства множеств, X ≠ Y. Значит g - инъекция.
Итак, поскольку мы показали, что между двумя множествами существуют инъекции «в обе стороны», мы можем сказать, что |P(ℕ)| = |[0, 1)| = |ℝ|. И тут мы подходим к одной из главных гипотез математики на рубеже XIX - XX веков…
КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА (CH).
Итак, Континуум-гипотеза утверждает следующее: «Не существует такого множества A, что |ℕ| < |A| < |ℝ|». Основатель Теории Множеств, Георг Кантор, пришёл к этой идее следующим образом.
Мы могли заметить, что ни объединения, ни пересечения, ни даже декартовы произведения между множествами счётной мощности не способны в результате дать множество с мощностью больше счётной. А единственным оставшимся действием с множествами, которое мы знаем и которое способно превратить счётное множество в континуальное, является взятие булеана. Итак, Кантор предположил (почему это и гипотеза) то, что находится в формулировке выше по тексту. Почему же в наших рассуждениях речь про единственность действия, а в формулировке Кантора - про существования множества? Ну, тут дело в том, что если такое множество существует, то оно не является булеаном счётного множества, а значит было получено каким-то ещё способом.
Вообще говоря, большая полезность Континуум-гипотезы в том, что она эквивалентна следующему утверждению: «Если A - некое бесконечное множество и верно |ℕ| ⩽ |A| ⩽ |ℝ|, то верно либо |ℕ| = |A|, либо |ℝ| = |A|» - то есть, что такое множество A имеет биекцию либо со множеством целых чисел, либо действительных. Также само обозначение ℵ1 как |ℝ| как бы подразумевает, что у нас не найдётся какого-то другого алефа, который был бы меньше |ℝ| и, значит, имел бы большее право называться ℵ1.
Существует, к слову, и аналогичное утверждение, только более «крутое» для всех бесконечных множеств. Оно называется «Алеф-гипотеза» и утверждает следующее: «для любой мощности бесконечного множества ℵa верно 2^ℵa = ℵ(a+1)», то есть, что взятие булеана - вообще единственный способ увеличить мощность бесконечного множества. Но я Алеф-гипотезу не изучал, поэтому вернёмся к Континуум-гипотезе.
Континуум-гипотеза была сформулирована в 1877 году (через 7 лет после самой Теории Множеств). Позже, невероятно выдающимся математиком Давидом Гильбертом в 1900 году на II Международном Конгресс Математика были сформулированы главные цели математики на будущее - так называемые «23 проблемы Гильберта». Первой среди них была именно Континуум-гипотеза. Дальнейшую судьбу мы рассмотрим в следующей, четвёртой статье цикла, но стоит запомнить вот что: Континуум-гипотеза стала настолько важна, что для неё, как одного из элементов аксиоматики Теории Множеств, создали отдельное обозначение - CH (Continuum-hypothesis).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Что ж. Это была действительно огромная статья. По сути, для её написания мне пришлось заново изучить весь материал по кардинальным числам, что пошло мне на пользу. Например, до написания статьи теорема Кантора-Бернштейна-Шрёдера мне казалась неприступной, а доказательство теоремы Кантора я понимал неверно. Читатель, возможно, не до конца понял материал, что и понятно: я не педагог, а материал, мягко говоря, тяжеловат. Советую, всё же, прочитать какие-либо «настоящие» учебники или книги по теме. В следующей статье мы рассмотрим закат той Теории Множеств, которую сформулировал Георг Кантор, и причины, почему настал закат…
А пока что предлагаю читателям подумать над следующими вопросами:
- Верно ли, что булеан конечного множества - конечное множество?
- Можно было заметить, что в разделе, где мы рассматривали равномощность прямой и n-мерного пространства, я упомянул, что мы можем найти мощность множества комплексных чисел ℂ. Чему равна мощность ℂ? А мощность множества кватернионов H?
- Верно ли, что равенство сохраняется тогда и только тогда, когда к обоим его сторонам применяется инъективная функция?
- Ричард Хаммак в своей книге «Book of Proof» справедливо заметил, что P(ℝ²) обладает просто невероятным смыслом. Подумайте над тем, насколько много всего включено в P(ℝ²).
- Существует довольно элегантный способ доказать равномощность окружности с выколотой «верхней» точкой и всей числовой прямой. Подумайте нам тем, какая существует биекция между окружностью x² + (y-1)² = 1 с выколотой точкой (0, 2) и всей числовой прямой ℝ.
