ЧТО БУДЕТ В СТАТЬЕ.
В прошлой части цикла мы обозрели общие понятия и базовые действия с множествами. В этой же статье мы рассмотрим, что такое функция с точки зрения Теории Множеств, какими свойствами она может обладать и, конечно, что с ними можно делать.
Прошлая статья также была заметно длиннее, чем, например, первые три статьи про математическую логику. Данная статья будет не очень длинной.
УПОРЯДОЧЕННАЯ ПАРА. КОРТЕЖИ.
Помимо множеств в Теории Множеств имеется ещё один объект, причём довольно похожий. УПОРЯДОЧЕННАЯ ПАРА - это набор из двух элементов, в котором учитывается порядок. Упорядоченная пара из элементов a и b записывается, как (a, b).
Важно заметить, что множество из двух элементов отличается от упорядоченной пары тех же элементов, то есть множество {a, b} это не то же самое, что пара (a, b). Почему? В множестве мы спокойно можем сказать, что {a, b} = {b, a}, поскольку для нас имеет значение ТОЛЬКО то, какие элементы входят в множество. Множества содержат одинаковые элементы? Ну значит они равны. С упорядоченными парами так сделать мы не можем, ведь (a, b) ≠ (b, a), поскольку в первой паре на первом месте стоит a, на втором - b, но во второй паре порядок обратный. А пары на то и упорядоченные, что порядок в них важен!
Кроме упорядоченной пары, существуют также и кортежи. КОРТЕЖ - это упорядоченный набор объектов фиксированной длины. Кортеж - это как бы обобщение упорядоченной пары на любое количество элементов. Например, кортеж (a, b, c) - упорядоченная последовательность из элементов a, b и c в именно таком порядке. Аналогично упорядоченным парам, можно сказать, что (a, b, c) ≠ (a, c, b), хотя {a, b, c} = {a, c, b}.
Упорядоченные пары и кортежи можно описать на Теории множеств разными способами, но тут я укажу тот, что не столь сильно нагружен фигурными скобками. Пусть пустой кортеж будет тем же самым, что пустое множество ∅. Пусть также кортеж из одного элемента (x1) будет аналогичен множеству, содержащему только x1, то есть {x1}. Теперь, дадим формулировку кортежам. Пусть кортеж вида (x1, x2, x3, … , xn) - это множество {(x1, x2, x3, … , xn-1), xn}. Применяя индукцию (то есть одни и те же действия несколько раз) мы в какой-то момент преобразуем изначальный кортеж в множество. Заметим, что тогда кортеж из двух элементов, то есть упорядоченная пара, вида (a, b) это то же самое, что {(a), b} или {{a}, b}. Также пара (b, a) это {{b}, a}. Заметим, что выполняется нужное нам условие - учитывается порядок, ведь {{a}, b} ≠ {{b}, a}, а значит (a, b) ≠ (b, a).
Также введём, что для упорядоченной пары (a, b) объект a называют ПЕРВОЙ КООРДИНАТОЙ или ПЕРВОЙ ПРОЕКЦИЕЙ пары, а b - ВТОРОЙ КООРДИНАТОЙ или ВТОРОЙ ПРОЕКЦИЕЙ. Связь с координатами на плоскости мы ещё рассмотрим позже.
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
ДЕКАРТОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ множеств A и B называют множество, состоящее из всех возможных упорядоченных пар, где первая координата - элемент множества A, а вторая - множества B. Обозначается декартово произведение множеств A и B, как A×B. Например, произведением множеств {a, b} и {c, d} будет {a, b}×{c, d} = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}. Заранее отметим, что A×B ≠ B×A потому что важен порядок.
Декартово произведение может быть не только между двумя множествами. Например, запись A×B×C означает множество {(a, b, c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C} и так далее. Но заранее также стоит отметить, что A×B×C ≠ (A×B)×C. Например, {1, 2}×{3, 4}×{5, 6} будет {(1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (1, 4, 6), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (2, 4, 6)}, а ({1, 2}×{3, 4})×{5, 6} будет {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2,4)}×{5, 6} или {((1, 3), 5), ((1, 4), 5), ((2, 3), 5), ((2, 4), 5), ((1, 3), 6), ((1, 4), 6), ((2, 3), 6), ((2, 4), 6)}.
Произведение вида A×A записывают A², произведение A×A×A - A³, произведение A×A×A×A×A - A^5 и так далее.
ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ. ПАРАМЕТРЫ ФУНКЦИИ.
Теперь перейдём к тому, что такое Функция с точки зрения Теории Множеств. ФУНКЦИЯ - это множество, состоящее из упорядоченных пар таких, что ни у каких двух пар в множестве не совпадают первые координаты. То есть, например, множество g = {(a, b), (b, c), (c, d)} - это функция, а вот множество h = {(a, b), (a, c), (b, d)} - не функция, потому что в h имеются две пары, первые проекции которых - один и тот же объект a. Как можно было заметить, функции, в отличие от остальных множеств, обозначаются строчными буквами, а не заглавными, хотя это не строгое правило.
Но из школьного курса математики или других разделов мы можем помнить, что функция f - это некий закон, который связывает переменную x и значение функции f(x). Чем вам, теоретикам, такое определение не угодило? В основном, тем, что формулировка «закон» - крайне расплывчатая в рамках Теории Множеств, на которой мы математику строим.
Однако, всё ещё остаётся вопрос, как теперь применить такую функцию. ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ f(x) называют вторую координату пары, являющейся элементом функции, для которой x - первая координата. То есть, для ранее заданной функции g мы можем сказать, что g(a) = b, g(b) = c, а g(c ) = d. Мы не можем сказать, что g(a) = c, потому что пара, которая входит в g и имеет a, как первую координату, - это (a, b), а у неё вторая координата - это b.
Это всё круто, но что мы будем делать, если у нас спросят, чему равно g(кот)? Очевидно, в g отсутствует пара, первой координатой которой был бы объект «кот». В таких случаях мы говорим, что g НЕ ОПРЕДЕЛЕНА ДЛЯ ЗНАЧЕНИЯ.
Конечно, всё ещё хотелось бы знать и задать, для каких значений определена функция. Говорят, что функция f ОПРЕДЕЛЕНА НА МНОЖЕСТВЕ A, если для каждого элемента A в функции f имеется пара, первой координатой которой является этот самый элемент. В таких случаях также говорят, что A - ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ f. Например, мы можем сказать, что функция g определена на множестве {a, b, c}, поскольку в g есть пары для каждого элемента этого множества. Также мы можем сказать, что {a, b, c} - область определения g.
С этого момента будем приводить примеры более «математических функций». Пусть t = {(x, y) ∈ ℝ² | y = 1/x}. В более привычном виде она записывается, как t(x) = 1/x. Как мы помним, эта функция определена для всех действительных значений x, кроме 0. Значит мы можем сказать, что областью определения t является множество ℝ \ {0}.
Хотелось бы также знать, какие значения может принимать функция. Говорят, что множество A является ОБЛАСТЬЮ ЗНАЧЕНИЙ функции f, если в f нет пар, вторая координата которых не была бы элементом A. То есть, например, областью значений функции g будет {b, c, d}, ведь у нас нет, например, пары со второй координатой j. Но также мы можем сказать, что область. значений g является множество {a, b, c, d, … , x, y, z}, ведь в g нет пар, второй координаты которых не было бы в этом множестве. То есть, в целом, областью значений функции может быть любое множество, для которого множество всех значений, которые вообще может принимать функция, будет подмножеством. Для примера выше мы видим, что {b, c, d} - множество всех возможных значений g, а также {b, c, d} ⊆ {a, b, c, d, … , x, y, z}.
Также, например, для функции r = {(x, y) ∈ ℝ² | y = x²} или r(x) = x² мы можем сказать, что её областью значений будет множество {x ∈ ℝ | x ≥ 0}, то есть множество всех неотрицательных действительных чисел.
Учитывая последнее, определение областей определения и значений функции становится каким-то слишком плавучим и неустойчивым - нужно как-то обозначить, что конкретно в данной задаче мы рассматриваем функции в определённой области определения и определённой области значений. Когда говорят, что для функции f областью определения принимается множество A, а областью значений - множество B, записывают «f: A → B». То есть, например, мы можем сказать, что g: {a, b, c} → {b, c, d}, а можем сказать, что g: {a, b, c} → {a, b, c, d, … , x, y, z}. При этом мы не можем сказать, что g: {a, b, c} → {b, c} или g: {a} → {b, c, d}, ведь {b, c} - не область значений g, а {a} - не область определения g. Вообще, если при записи f: A → B оказывается, что A - не область определения f, говорят, что f - не функция, хотя это просто значит, что f - не функция в контексте определения на множестве A.
Ранее упомянутые функции t и r мы можем записать, как t: ℝ \ {0} → ℝ \ {0} и r: ℝ → {x ∈ ℝ | x ≥ 0}. Стоит отметить, что при этом может быть, что u(x) = 2x и v(x) = 2x, но u: ℤ → ℤ и v: ℝ → ℝ. С учётом второго мы не можем сказать, что u = v, что это одинаковые функции. Глядя на график мы можем это подтвердить:
С точки зрения Теории Множеств же функции v и u, будучи множествами, были бы равны, если бы имели одинаковый набор элементов. Но мы можем заметить, например, что (½, 1) ∈ v, но при этом (½, 1) ∉ u, то есть у них не одинаковый набор элементов и они не равны.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ.
И вот мы определили, что такое функция и как её можно записывать. Теперь хотелось бы узнать, какие основные свойства у неё могут быть.
Функция f называется ИНЪЕКТИВНОЙ, если в f не содержится двух пар с одинаковой второй координатой, то есть, для f не существует двух неравных аргументов x и y таких, что f(x) = f(y). Сама функция в таком случае называется ИНЪЕКЦИЕЙ. Например, функция g, введённая выше, является инъективной, ведь в области определения нет двух неравных x и y таких, что g(x) = g(y).
Основным способом доказать, что f: A → B - инъекция, является доказательство того, что для любого x, y ∈ A (читается «x и y из A») верно, что (f(x) = f(y)) ⇒ (x = y), то есть, что если значения функции для двух аргументов равны, то эти аргументы равны. Опровергнуть же инъективность f можно, если найти x, y ∈ A такие, что x ≠ y, но при этом f(x) = f(y)
Например, можно заметить, что r - не инъективна, ведь r(-2) = r(2) = 4, хотя -2 ≠ 2. А вот t или v - инъективны, ведь для t если t(x) = t(y), то 1/x = 1/y и x = y, а для u, если v(x) = v(y), то 2x = 2y и x = y.
Графически инъективность функции означает то, что если проводить горизонтальные линии на плоскости, то линия никогда не будет иметь две и больше точек пересечения с графиком функции. Вот примеры для r, t и v:
Приведём ещё одно важное свойство функции. Функция f: A → B называется СЮРЪЕКТИВНОЙ, если для любого y ∈ B найдётся такой x ∈ A, что f(x) = y, то есть, если множество B совпадает с множеством всех возможных значений f. Саму функцию тогда называют СЮРЪЕКЦИЕЙ. Например, функция g: {a, b, c} → {b, c, d} - сюръективна, ведь для каждого элемента y ∈ {b, c, d} есть x ∈ {a, b, c} такой, что g(x) = y.
Заметим, что t: ℝ \ {0} → ℝ \ {0}, r: ℝ → {x ∈ ℝ | x ≥ 0} и v: ℝ → ℝ - все сюръективны. Докажем. Если t(x) = y и y ∈ ℝ \ {0}, то 1/x = y и x = 1/y, а 1/y всегда является элементом ℝ \ {0}. Если r(x) = y и y ∈ {x ∈ ℝ | x ≥ 0}, то x² = y, а значит x = ±sqrt(y), при этом квадратный корень неотрицательного действительного числа всегда является элементом ℝ. Если v(x) = y и y ∈ ℝ, то 2x = y и x = y/2, а любое действительное число, делённое на 2, всегда является элементом ℝ.
В основном, мы можем обнаружить, что функция не сюръективна, если мы «неверно» определили её область значений. Например, если бы мы определили r(x) = x², как r: ℤ → ℝ, то оказалось бы, что, например, ¼ ∈ ℝ, но при этом нет такого целого числа, которое давало бы при возведении в квадрат ¼, то есть sqrt(¼) или ½ ∉ ℤ.
И вот последнее свойство функции. Функция f называется БИЕКТИВНОЙ, если она одновременно и инъективна, и сюръективна. В таком случае функцию f называют БИЕКЦИЕЙ. Казалось бы, что такого особенного может быть у функции, которая просто обладает двумя этими свойствами? Но на самом деле, такие функции являются чуть ли не краеугольным камнем всей Теории Множеств и даже прикладной арифметики!
Особенностью биекции f: A → B является то, что она однозначно сопоставляет элементы A и B. Это происходит, потому что если функция инъективна, то всем возможным значениям функции соответствует только одно значение аргумента, а если функция сюръективна, то область значений и множество всех возможных значений - это равные множества. То есть, это значит, что каждому элементу B в виде f(x) в соответствие ставится одно и только одно значение аргумента x, элемента A. Подробнее мы рассмотрим, почему это важно, в следующей статье.
Функции g, t и v - это биекции, ведь они и инъективны, и сюръективны. Функция r же не биективна, ведь она не инъективна.
ЧТО МОЖНО ДЕЛАТЬ С ФУНКЦИЯМИ.
Помимо того, чтобы просто находить значение функции при определённом аргументе, мы можем делать ещё как минимум три интересные вещи с функциями.
Во-первых, мы можем отображать множества при помощи функций. ОТОБРАЖЕНИЕМ множества C ⊆ A функцией f: A → B называется множество {f(x) | x ∈ C}, то есть множество всех возможных значений функции f(x) при всех возможных значениях x ∈ C. Отображение множества C функцией f записывается, как f(C ).
Например, отображением отрезка [-1, 2] (напомню, что [a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}) функцией r будет r([-1, 2]) = [0, 4], поскольку в промежутке от -1 до 4 функция r принимает все действительные значения от 0 до 4. Отображением g({a, b}) будет {b, c}. Отображением v([-1, 1]) будет [-2, 2].
Во-вторых, мы можем создать композицию двух функций. КОМПОЗИЦИЕЙ функций f: A → B и h: f(A) → C называется функция f∘h: A → С, значением которой является последовательное применение функции h к аргументу x и далее применение функции f к значению h(x). Аналогично композиция действует и в качестве отображения. По факту, композиция f∘h(x) это то же самое, что f(h(x)).
Например, пусть e: ℝ → {x ∈ ℝ | x > 0} и e(x) = e^x. Также пусть s: {x ∈ ℝ | x > 0} → {x ∈ ℝ | x > 0} и s(x) = sqrt(x). Тогда композицией будет являться функция s∘e: ℝ → {x ∈ ℝ | x > 0}, причём s∘e(x) = s(e(x)) = sqrt(e^x) = e^(x/2). Графически эти будет выглядеть так:
Последнее, что мы рассмотрим в этой статье - обратная функция. ОБРАТНОЙ ФУНКЦИЕЙ функции f: A → B называют функцию f^-1: B → A такую, что f^-1 = {(f(x), x) | x ∈ A}. Фактически, обратная функция показывает, какому значению аргумента соответствует определённое значение изначальной функции. Также критерием того, что функция f^-1 - действительно обратная к f, считается верность выражения f^-1∘f(x) = x. Примером обратной функции будет функция g^-1 будет равна {(b, a), (c, b), (d, c)}.
Заметим, что обратная функция существует тогда и только тогда, когда изначальная функция - биекция. Покажем это. Если f^-1 - функция, то в ней не могут присутствовать две пары с одинаковой первой и разными вторыми координатами. Поскольку любая пара в f^-1 имеет вид (f(x), x), мы получаем, что не должно быть такого, что две пары имеют разные вторые координаты (x ≠ y), но при этом равные первые координаты (f(x) = f(y)). То есть, фактически, мы получили суждение о том, что если f(x) = f(y), то x = y, что вообще-то является признаком инъективности. Значит, чтобы существовала обратная функция, изначальная функция должна быть инъекцией. Также, если f^-1 - функция, то f^-1 должно быть определено на всей области определения и более нигде. Значит множество B должно быть равно множеству всех возможных первых координат пар f^-1, то есть, всем возможным значениям f(x), то есть f(A). Но если B = f(A), то f - сюръективна (над вопросом почему это так предлагаю подумать читателю). Значит, чтобы f^-1 было функцией, f должно быть одновременно инъекцией и сюръекцией, то есть биекцией.
Вообще говоря, чтобы найти обратную функцию от «числовой» функции (например, функций r, t или v) нужно решить уравнение относительно x в записи функции - это и будет формулой обратной функции. То есть, например, если t(x) = 1/x, то решением относительно x будет t^-1(x) = x = 1/t(x). Если же v(x) = 2x, то решением относительно x будет v^-1(x) = x = v(x)/2. Вот как это выглядит графически:
Можно также заметить, что графики v и v^-1 симметричны относительно оси y = x. Предоставляю подумать над тем, почему это верно для пары изначальной и обратной функций, читателю.
Вот и конец данной статьи. Благодарю всех за внимание! В следующей статье мы рассмотрим, пожалуй, самую необычную и неочевидную тему в Теории Множеств - тему кардинальных чисел и почему бесконечности бывают разные.
Также здесь соберу некоторые вопросы, над которыми могут пока что поразмыслить читатели:
- Можно ли назвать пустое множество функцией? Если да, то является ли такая функция инъекцией? Сюръекцией? Биекцией? Существует ли обратная ей функция, и если да, то какая?
- Верно ли, что любая функция вида f: A → f(A) является биекцией?
- Верно ли, что для любой биекции f и обратной ей функции f^-1 выполняется выражение f(f^-1(x)) = x?
