В предыдущей статье «Числа. Часть 1. Какими они бывают?» был затронут вопрос о том, какой реальности соответствуют числа того или иного типа, то есть для выражения результатов каких именно действий с предметами они предназначены. Поищем теперь физические референты самих арифметических операций с числами и рассмотрим эти операции также с точки зрения физики. Начнем со сложения. В мире вещей арифметическому действию сложения чисел, сопоставляется процедура накопления каких-либо объектов, перемещаемых в общую для них область пространства.
Например, пусть перед нами находятся две одинаковые по количеству горсти риса <A> и <B>. Повторенное 5 раз действие переноса одного зерна риса из множества зерен <A> в множество <B> можно записать в виде следующего символьного выражения (в множестве <B> 5 раз выполнено действие сложения единиц – добавления зерен по одному из множества <A> в множество <B>):
В этом выражении кроме сложения использовано и другое арифметическое действие - умножение чисел, призванное сделать более короткой запись многократно повторяющегося (b раз) действия сложения одного и того же
числа (a):
В результате выполнения указанной операции количество зерен в множестве <B> увеличится на 5 штук, а в множестве <A> соответственно уменьшится на тоже самое количество зерен. Последнее обстоятельство, используя обратное сложению действие вычитания, в символьном виде можно записать так (в множестве <A> 5 раз выполнено действие изъятия зерен):
На этом этапе рассуждений у самых внимательных и дотошных читателей неизбежно возникает наивный «детский» вопрос, и даже два таких вопроса: «Может ли количество повторений действия быть отрицательным числом? Что в реальности можно сопоставить отрицательному количеству повторений действия сложения чисел?».
Запись выполнения подобных операций выглядит следующим образом:
В этих символьных записях обращает на себя внимание то, что знаки полученных результатов противоположны друг другу. Почему?
Забавно, но нахождению приемлемого ответа на такой «коварный» вопрос поспособствовало, как раз, общение с детьми. Давно, когда я еще работал в школе, среди «пофигистов» и относительно безобидных оболтусов generation «П», встречались и такие гимназисты, которые учились не за страх, а за совесть, и главное, с интересом. Так вот, однажды один из таких особо пытливых отроков, полностью погруженный в математику, задал мне вопрос из категории задач «на вынос мозга»: «Почему, когда перемножаются числа одного знака, их произведение является положительным числом, а если сомножители имеют разные знаки, то произведение оказывается отрицательным числом?». Я, конечно, мог бы навскидку ответить, что такое правило всего лишь результат корпоративной договоренности сообщества математиков, но боюсь, что подобная «отмазка» никоим образом не устроила бы этого, с виду одного из вероятных приверженцев мировоззрения существ подобных литературным «мокрецам» - таинственным и весьма мрачным персонажам повести братьев Стругацких «Гадкие лебеди».
Поэтому я честно признался, что сразу не готов ответить на такой серьезный вопрос, и обещал подумать над ним. А надумал я вот что. Отрицательное число по своей сути и по определению противоположно соответствующему положительному числу. Это утверждение в полной мере относится и к действиям с числами, то есть можно сказать, что отрицание выполнения какого-либо действия равносильно его невыполнению. В нашем первом примере 5 раз не выполняется операция переноса одного зерна из множества <A> в множество <B>. То есть эти 5 зерен остаются там, где и были – в множестве <A>, так и не появившись в множестве <B>, и таким образом, количества зерен в обоих множествах не изменяются.
Говоря иначе, зерна в количестве 5 штук продолжают находиться в множестве <A>, что отражает положительный результат перемножения двух отрицательных чисел во втором примере (число < +5 > означает, что в результате пятикратного невыполнения действия вычитания эти зерна, в данный момент времени, принадлежат множеству <A>). Отрицательный же результат пятикратного невыполнения действия сложения в первом примере соответствует тому, что новые 5 зерен так и не появились в множестве <B> (число < -5 > в результате означает, что в данный момент времени этих зерен в множестве <B> попросту нет).
В общем, в тот раз учительский авторитет просто чудом устоял под натиском жаждущего разъяснений вундеркинда. И к моему облегчению, предложенный вариант ответа вполне его удовлетворил.
Теперь поищем, что интересного может дать анализ представлений об арифметических действиях с другой стороны – со стороны их базовых свойств, и начнем этот поиск вновь с операции сложения.
Как известно, одним из основных свойств множества предметов является их количество в этом множестве. После пересчета предметов мы получаем определенное число – значение свойства «количество» для данного множества. Пересчитав предметы в каком-либо другом множестве, мы находим, вообще говоря, другое число - значение свойства «количество» для другого множества.
Что теперь можно сделать с этими числами? Ну, во-первых, конечно, сравнить: там, где предметов больше, там и соответствующее число принимается за большее.
Что еще, - и это уже интереснее – можно эти числа сложить. Операции сложения чисел сопоставляется объединение двух и более множеств в одно общее для них множество. В физическом смысле это означает сближение предметов, то есть их размещение в некотором ограниченном месте пространства в данный момент времени. Так в чистую математику, точнее в простую арифметику, вторгается физическое понятие пространства, сопровождаемое представлениями о процессе перемещения объектов.
Далее, известно, что каждая из арифметических операций обладает целым набором характеризующих эти действия свойств, из которых ключевым является свойство коммутативности.
Коммутативность – свойство, которому может удовлетворять бинарная операция (в частности, сложение и умножение вещественных чисел, пересечение и объединение множеств). Бинарная операция на множестве <A> представляет собой правило, единственным образом сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов <a> и <b> из <A> некоторый элемент <c> этого же множества <A>, называемый результатом этой операции.
Термин происходит от латинского commutare – перемещать. Поэтому часто коммутативность называют переместительным законом. Как оказалось, результат перестановки сомножителей зависит от того, какие именно математические объекты перемножаются. Этому закону не удовлетворяют, например, умножение матриц и векторное умножение.
Однако дело здесь не только в типе математических объектов, с которыми производятся те или иные операции. Для операции сложения объектов любого типа, совершенно не имеет значения, как именно элементы множеств <a> и <b> собираются в общую «кучу», или в новое множество <c>: то ли элементы из первого множества переносят в область расположения предметов второго множества (b+a), то ли – наоборот (a+b). В обоих случаях, результат предпринятых действий – число, являющееся значением свойства «количество» объединенного множества, будет одним и тем же.
Но нельзя не согласиться и с тем, что как и любой физический процесс, перемещение предметов из одного места пространства в другое длится в течение определенного времени. Пусть объекты переносят по одному, на каждое такое действие затрачивается один и тот же промежуток времени принятый за единицу. Тогда чем больше количество переносимых объектов, тем больше времени на это потребуется. То есть в отношении времени выполнения рассматриваемой процедуры, операции <a+b> и <b+a> не эквивалентны, оставаясь равноценными только в отношении количества предметов после переноса, которое не зависит от продолжительности производимых действий.
Только что изложенные соображения, в той же, если не в большей степени касаются также и операции умножения чисел. В записи <a·b> число <a> означает количество предметов, перемещаемых за один подход (элементарный интервал времени), а число <b> фиксирует количество этих подходов, и значит, определяет промежуток времени, затраченный на выполнение операции умножения в целом.
Запись сомножителей в обратном порядке <b·a> означает, что в этом случае за один подход переносится <b> предметов, а итоговое количество подходов выражает число <a>, то есть время получения результата в первом случае отличается от времени получения второго результата.
Таким образом, как и сложение, умножение коммутативно только в отношении количества предметов и зафиксированных данным мгновением настоящего времени расстояний между ними. Строго говоря, математически равные количества оказываются неравными в физическом смысле, поскольку предметы результирующего множества на самом деле обнаруживаются в данной области пространства в разные моменты времени. Можно сказать еще и так: операции сложения и умножения коммутативны в пространстве, и не коммутативны во времени, что связано с выходом за пределы трехмерного евклидового пространства.
Любопытно, что подтверждение вышеуказанного обстоятельства можно найти в одном из альтернативных вариантов квантовой механики. А именно, в том варианте, в котором используется ее представление в матричной форме. Автор матричного описания квантовых объектов и процессов с их участием, немецкий физик Вернер Гейзенберг, в 1927 году показал, что если частица массы <m> преодолела в некоторое расстояние <s> со скоростью <v>, то матрицы, соответствующие этим физическим величинам, должны быть связаны следующим соотношением (h – постоянная Планка, i = √-1):
То есть, в случае таких математических объектов, как матрицы, операция умножения, и в самом деле, не коммутативна в отношении перестановки событий, происходящих с реальными объектами во времени. Если перестановка объектов в пространстве ничего не меняет ни в их количестве, ни в их состоянии и свойствах, то переместить объект во времени невозможно, не изменив его. Степень изменения объекта, согласно Гейзенбергу, обратно пропорциональна его массе: чем объект тяжелее, тем незначительнее происходящие с ним изменения. Для элементарных частиц, масса которых чрезвычайно мала, перестановка событий, происходящих с ними во времени, равносильна превращению одних частиц в другие.
Необходимо подчеркнуть тот факт, что в силу исключительной малости постоянной Планка, отношение <h/m>, входящее в правую часть указанного равенства Гейзенберга, будет заметно отличаться от нуля только тогда, когда частица обладает очень малой массой. Для макроскопических тел этим отношением можно пренебречь, и с достаточной точностью считать операцию умножения в целом коммутативной:
Отметим также и то, что, ограничив количество <b> элементарных действий переноса элементов одного множества в другое, количеством <a> перемещаемых за один раз объектов, то есть, положив <b = a>, мы выравниваем время получения результатов без перестановки сомножителей и время, затраченное на выполнение той же операции после их перестановки. Так в арсенале арифметических операций совершенно естественным образом появляется абсолютно (и математически, и физически) коммутативная операция возведения числа в квадрат:
И, наконец, «вишенка на торте». В знаменателе правой части рассматриваемого равенства Гейзенберга фигурирует длина некоторой окружности мнимого радиуса R= im, что может восприниматься, как косвенное указание на то, что пятой координатой мира Калуцы, и в самом деле, является масса. Об этом статьи «Пятое измерение. Теодор Калуца» и «Новости из модифицированного мира Калуцы». И помимо того, здесь можно усмотреть еще и подтверждение наличия у этой координаты такого необычного ее свойства, как круговая цикличность.
В завершение, немного опережая события, возьмем на заметку также и то, что величину массы выражает не вещественное, а мнимое число. Мнимость массы будет использована в третьей части подборки статей об арифметике, на сей раз повествующей о числовых прямых, числовых плоскостях и секторах, на которые они делятся своими биссектрисами.