Сделаем небольшой перерыв, и на некоторое время отвлечемся от статей, посвященных геометрическому моделированию элементарных физических объектов и происходящих с ними процессов. Давайте поговорим о некоторых разделах математики, а именно, займемся арифметикой, не оставляя, при этом вне обсуждения и физику. Выясним, какие физические референты скрыты за теми или иными базовыми арифметическими понятиями и объектами, например, за таким объектом, как число, а также посмотрим, какие действия с реальными предметами лежат в основе соответствующих арифметических операций с числами.
По всей вероятности, понятие «числа» возникло, в первую очередь, из необходимости зафиксировать различие между представлениями об отдельном объекте и об их совокупности. Благодаря именно этой потребности, смогли появиться такие ключевые понятия как «сколько» и «несколько», «один» и «много».
Интуитивно понятно, что отличить (отделить) один объект от других объектов позволяет некоторое физическое действие с ним, совершаемое с определенной целью. Например, пусть объекты подвергаются процедуре пересчета - повторяющейся операции их перемещения из одного места пространства в другое. Итог такой операции представляет собой убыль объектов в одном месте и их накопление в другом. Для обозначения результата подобных повторений и стало безотчетно использоваться понятие «количество» или понятие «число».
Осознание этого понятия произошло позже, по мере развития торговли в древних цивилизациях, таких как Египет и Вавилон, а возможно и раньше. Как раз, в связи с необходимостью обозначения результатов операции счета, то есть выяснения количества тех или иных обмениваемых или продаваемых (покупаемых) предметов, как естественного происхождения, так и изготовленных руками человека.
Поэтому вначале и довольно продолжительное время людям удавалось обходиться исключительно натуральными (или природными) числами, названными так, поскольку за ними стояли реально существующие в природе объекты, представляющие собой наборы отдельных однотипных или разнородных предметов. Так возникло первое в истории математики множество натуральных чисел (позже названных целыми положительными числами), которое сейчас принято обозначать буквой N.
Однако, как уже было отмечено выше, накопление объектов в данном месте пространства обязательно сопровождалось соответствующей убылью этих же объектов в другом месте пространства, то есть в таком случае можно говорить об их отсутствии там в данный момент времени. Для обозначения отсутствия объектов пришлось расширить множество натуральных чисел до множества целых чисел, за счет введения понятия отрицательных чисел, противоположных натуральным. Вот тогда-то, для того, чтобы натуральные числа можно было отличить от чисел новой категории, первые обрели статус положительных чисел. Формально различить числа указанных типов позволяет наделение их знаками «плюс» и «минус».
Если число а = +1, то это значит, что в данный момент времени данный объект находится в данном месте пространства, и отсутствует (число а = -1) где либо еще, кроме данного места. Так фиксируется уникальная пространственная локализованность каждого из одновременно существующих объектов. Таким образом, числа < +а > и < -а > обозначают одно и то же количество объектов, а разница в знаке отражает лишь факт их наличия в одном месте пространства и одновременного отсутствия в каком-либо другом его месте.
Как известно, с числами, как и с реальными предметами, можно выполнять те или иные действия. Например, накоплению предметов в каком-то определенном месте (здесь) соответствует арифметическое действие сложения чисел. Изъятие накапливаемых здесь предметов происходит в другом месте (там), и ему соответствует обратное сложению чисел арифметическое действие их вычитания, которое со своей стороны также поспособствовало возникновению представлений об отрицательных числах – надо было как-то обозначать результат вычитания большего числа из меньшего.
Итак, отрицательные числа и число ноль (множество, состоящее из одного элемента) дополнили множество натуральных чисел N до более обширного (мощного) множества целых чисел обычно обозначаемого буквой Z.
Одна любопытная и важная деталь: в VII веке индийские математики использовали отрицательные числа для обозначения денежных долгов. Такая возможность означает, что за понятием отрицательного числа лежит факт существования материальных объектов (в данном случае монет) не только в пространстве (здесь или там), но и во времени. Ведь можно сказать, что у заимодавца сейчас, то есть в данный момент времени, нет той суммы денег, которую он ссудил заемщику, и возврата которой заимодавец ожидает через определенный интервал времени. Другими словами, положительное число <+а> обозначает наличие такого количества объектов (монет) сейчас и здесь
(у заемщика). Противоположное симметричное ему отрицательное число <-а> обозначает временное отсутствие указанного количества этих монет сейчас и там (у заимодавца).
К следующему расширению, теперь уже множества целых чисел Z, привела операция деления чисел, обратная операции их умножения: появились дробные числа, представляющие собой отношения целых чисел, расширившие множество целых чисел Z до множества рациональных чисел, для обозначения которого используется буква Q. Числом теперь стали называть не только количество имеющихся в наличии или отсутствующих предметов, но и отношение количеств.
Затем потребность точного измерения непрерывных длин и расстояний породила множество так называемых иррациональных чисел (например, √a), дополняющих множество рациональных чисел Q до множества действительных (вещественных) чисел, которое обозначают буквой R.
Следует также обязательно упомянуть о том, что, если средневековые индийские и арабские математики, подобно своим предшественникам – древним грекам, нисколько не сомневаясь, широко использовали и целые числа, и дроби, а также, без колебаний свободно оперировали иррациональными числами, то большинство европейских математиков XVI-XVII веков не считали отрицательные и иррациональные числа «настоящими». Для них это были не числа, а лишь вспомогательные инструменты или символы, не имеющие никакого отношения к физической реальности. Единственным оправданием использования таких «потусторонних» чисел было то, что в ряде случаев операции над ними приводили к положительным и рациональным числам.
Так, окончательно и не преодолев трудностей, связанных с признанием иррациональных и отрицательных чисел «настоящими», позже европейцы, по выражению американского математика Мориса Клайна (автора книги «Математика. Утрата определенности»), «набрели» еще и на мнимые (комплексные) числа. Новые числа возникли, когда математики распространили операцию извлечения квадратного корня на любые числа, включая и отрицательные.
Задача извлечения квадратного корня из отрицательного числа < c > сводится к задаче извлечения квадратного корня из отрицательной единицы:
Известный европейский математик XVIII века Леонард Эйлер обозначил этот символ √-1 буквой i (начальная буква французского слова imaginaire – мнимый, воображаемый). Ситуация с восприятием этой «мнимой» единицы оказалась еще хуже, чем с восприятием иррациональных чисел.
Каждому иррациональному числу, по крайней мере, соответствует определенная точка на действительной числовой прямой (координатной оси чувственно воспринимаемого пространства), а найти какое-либо геометрическое истолкование для мнимого числа очень сложно, если вообще возможно. В пространстве не существует такого отрезка, для выражения длины которого, потребовалось бы мнимое число.
Тем не менее, постепенно пробивало себе дорогу убеждение в противоестественности отношения к мнимому числу как к «потустороннему» математическому объекту. В решении разнообразных теоретических и прикладных математических задач все чаще появлялись признаки того, что мнимое число в единстве с вещественным числом представляет некий аспект более глубокого и совершенного понятия числа. В конце концов, специфическое объединение этих чисел в некоторый комплекс привело к возникновению представлений о комплексных числах.
Множество комплексных чисел, обозначаемое буквой C, вобрало в себя множество вещественных чисел R, которое, в свою очередь, содержит в качестве своего подмножества множество рациональных чисел Q, и так далее. Такую вложенность числовых множеств часто изображают в виде, так называемых, кругов Эйлера.
И в завершение первой части статьи о числах, отметим и запомним на будущее одно принципиально важное обстоятельство. По мере расширения множества чисел, к двум вещественным единицам противоположных знаков (1, -1) принадлежащих множеству чисел R добавились еще две единицы - мнимые
(i, -i), принадлежащие множеству чисел C. Таким образом, множество всех известных на сегодняшний день чисел содержит четыре различные единицы, и это надо иметь ввиду. Надеюсь, что физический смысл первых двух из них, в какой-то степени, помогла прояснить данная статья, а подробнее разобраться с мнимыми единицами попробуем в одной из следующих публикаций объединенных темой «Арифметика глазами физика».