Ранее был рассмотрен вопрос возведение в рациональную дробь. Пришло время рассмотреть вопрос возведения в бесконечную десятичную дробь или в иррациональное число.
Менее искушённые читатели могут сказать, что здесь проблем нет, надо просто подсчитать иррациональное число с нужной степенью точности, заменив его несократимой рациональной дробью и возводить числа в степень как обычные. Однако, так не получится, и вот почему.
Допустим в качестве иррационального числа мы имеем число вида 0.41... И возводить в эту степень число(или выражения) будем, как обычные вещественные числа.
Видим, что чётность знаменателя и числителя может меняться произвольно.
Если знаменатель нечётный, то проблемы не возникает и ответ один. Проблема возникает, когда знаменатель оказывается числом чётным.
Если знаменатель чётный, а выражение, которое мы возводим в степень, мы полагаем положительным, то результат даст два значения.
Получаем неопределённость - то ли два, то ли один ответ.
Если же мы предполагаем, что выражение, возводимое в степень, меньше ноля, то при нечётном знаменателе мы получаем вещественное число, а при чётном мнимое. Ну, это совсем казус.
Вот теперь всё чётко. На последнем этапе переходим в то множество чисел, которое нам нужно, но, как можно заметить мы получаем явно комплексное число.
Это очень интересный и неожиданный результат. Получается, мы возводили вещественное число в вещественную степень, а получили в результате число комплексное. А, если точнее, бесконечное множество комплексных чисел.
Результат неожиданный на первый взгляд. Но, если подумать, когда мы возводим число в дробь b/a, то мы возводим число в степень b и это не изменяет число решений, оно одно. Зато, когда мы извлекает корень степени a, то мы получаем a корней. Логично, что если дробь бесконечна, то и корней окажется бесконечно много, точнее решений.
Вопрос состоит в том, будут вещественные решения? Когда мы возводили в целую степень вещественное число, то получали в результате вещественное решение. Когда мы извлекали корень целой степени, то результат зависел от чётности корня и положительности вещественного числа. Если вещественное число было меньше ноля, а степень корня чётная, то решение было комплексным. Аналогичные выводы можно было бы получить и для возведения в рациональную дробь.
В выражении для B
возможны два случая:
n=2k, где k целое число. Этот случай соответствует ситуации, когда B>0.
n=2k+1, где k целое число. Этот случай соответствует ситуации, когда B<0.
Мы можем положить k=0, тогда для случая B>0 мы получаем одно вещественное значение.
При решении же в комплексной области выходить из тригонометрической нельзя.