Интересная заочная дискуссия получилась у нас с Wild Mathing.
Поводом стала статья про кивающую лошадку, в ответе на которую коллега поделился своим взглядом на преподавание некоторых тем.
В связи с этим хотел бы обсудить вопросы методической составляющей работы именно репетитора, и чем его подход отличается от подхода создателей курсов или руководителей массовых онлайн-школ.
Тем более не так часто в сообществе преподавателей можно встретить подобный спокойный обмен мнениями о преподавании...
Можете, например, сравнить с вот такой «дискуссией о планиметрии» двух онлайн-школ https://www.youtube.com/watch?v=i1nQmXvygvw
Итак, отрывок из статьи-ответа коллеги:
«...В аргументах формул приведения красуется (π/2+α), (3π/2±α). Выводим через сумму/разность аргументов. Когда решаем задачи, можем дополнительно обсудить их на окружности.
В конце концов даже если ученик уже привык к мнемонике в школе, то как минимум появляется способ проверить себя. И даже в случае выражений sin(α-7π/2) формула синуса разности аргументов может оказаться лучше по надежности и скорости. Одно из произведений обнуляется, т. е. один «лошадинный» вопрос уже решен, а второй (какой знак?) теперь сформулирован очень просто. Но тут же стоит отметить, что с tg(π/2+α) так ловко не выйдет по очевидным причинам. Приходится либо работать с окружностью, либо вычислять синус и косинус отдельно: тут уже проигрыш по времени по сравнению с мнемоникой. Поэтому все упирается в философский вопрос: что для нас важнее в конечном счете?»
В целом этот подход понятен. Он реализован и в школьных учебниках, в частности в учебнике А.Г. Мерзляка «Алгебра. 10 класс. Углубленный уровень». После §24.«Формулы сложения» следует §25.«Формулы приведения», где как раз все они выводятся через синусы и косинусы сумм и разностей.
Хотя после там говорится про «закономерности, которые делают заучивание формул приведения не обязательным». Эти закономерности видимо и есть то самое неофициальное «правило лошадки».
Но как же лучше вычислять выражение sin(α-7π/2) из статьи коллеги?
Лучше мнемоникой или через синус разности?
Мне кажется, что это тот случай, когда на задачу нужно посмотреть шире.
Выражение sin(α-7π/2) лучше сначала предварительно преобразовать. Ведь синус является периодической функцией с периодом 2π. И если мы добавим к аргументу 2⋅2π=4π=8π/2, то мы получим тот же результат.
В итоге sin(α-7π/2) = sin(α-7π/2+8π/2) = sin(α+π/2).
А полученное выражение можно вычислять хоть мнемоникой, хоть на окружности.
Поэтому отвечая на философский вопрос коллеги, могу сказать, что для меня как для репетитора важно научить школьников в любой ситуации по максимуму упрощать задачи.
Вплоть до того, мы на занятиях не решаем задачи как таковые. Мы их упрощаем до такой степени, пока не получим правильный ответ.
И перед решением любой задачи мы сперва задаёмся вопросом: а нужно ли нам решать именно такую задачу, именно в таком виде?
Например, для уравнений 10x²+5x-15=0 и x²+14x+49=0 мы не бежим срочно находить корни через дискриминант, хотя это всё вроде бы обычные квадратные уравнения.
В неравенстве 7(5x-9)>56 мы не торопимся раскрывать скобки, хотя и таким образом мы получим простое линейное неравенство.
Решая уравнение (x²+x+1)(x²+x+3)-15=0, мы не перемножаем скобки, даже если знаем про теорему Безу и умеем работать с многочленами четвёртой степени.
Мы используем замену, которая тоже не магический приём, а лишь очередная техника упрощения задачи.
Ну и, конечно, для задач вроде cos(α+25π/2) мы в первую очередь используем периодичность.
Так проще.
Как мне кажется, причесать задачу важнее, чем пытаться сразу подобрать нужный алгоритм.
Как видите, выбор способа решения во многом зависит от преподавателя и того, как именно он видит школьную математику.
Но это не единственный критерий, определяющий выбор подхода к подготовке к экзаменами.
Важнее, конечно, сам ученик и его цели.
Допустим ученик хочет ограничиться на ЕГЭ только Джентльменским уровнем и попытаться зацепиться за одну из четырёх сложных задач второй части.
Можно, конечно, ему аккуратно давать всю тригонометрию и посвятить часть занятий формулам синуса суммы и разности с последующей их отработкой.
Но ведь в реальности в банке ФИПИ есть лишь пара задач на эту тему.
И возможно лучше пройти её по касательной, разобрав эти простые примеры, а драгоценное время потратить на параметры или стереометрию.
Другой вопрос, когда ученик приходит со связкой ЕГЭ + ДВИ. То есть хочет хорошо сдать основной экзамен, а потом побороться за баллы на дополнительном.
Тогда подход к подготовке будет иным.
Если прагматично готовиться сначала чисто к ЕГЭ и выбирать задачи только с прицелом на этот экзамен, то потом просто не хватит времени нормально подготовиться к ДВИ.
Дело в том, что для подготовки к этому дополнительному экзамену нужна определённая база, которая при обычной ЕГЭшной подготовке как правило не ставится.
Таким образом нужно не просто готовиться к ЕГЭ в течение года, но и держать в голове ДВИ. И смотреть на все темы гораздо шире.
Тогда нужно перед экономическими задачами поглубже нырять в тему «Арифметическая и геометрическая прогрессия».
Вместо стандартных текстовых задач первой части лучше смотреть на более сложные задания (здесь рекомендую коллегам для сложных текстовых задач пособие В.С.Крамора «Задачи на составление уравнений и методы их решения»).
Ну и, конечно, потребуется совершенно иной уровень тригонометрии.
К началу подготовки к ДВИ после сданного ЕГЭ ученик уже должен иметь хорошо развитый навык использования формул синуса и косинуса суммы.
В таком случае, уместно и формулы приведения вначале давать именно так, как предлагает Wild. И тогда лошадка отдыхает где-то в стороне, а мы сразу при любом возможном случае, на любых примерах отрабатываем более продвинутые тригонометрические формулы.
Есть ещё вариант, что ученик в первую очередь настроен на ДВИ, а за ЕГЭ особо не беспокоится.
Но в такой ситуации может быть вообще стоит заниматься полноценной олимпиадной подготовкой и пробовать поступить в топовый вуз по олимпиаде. Заодно по ходу дела подготовиться и к ДВИ, и к ЕГЭ.
Но даже если ученик ставит себе высокие цели, репетитору нужно в любом случае отталкиваться непосредственно от самого ученика.
Какой у него уровень? Как он усваивает информацию? Умеет ли работать самостоятельно? Как работает непосредственно на занятиях? Как выполняет домашку?
И понять для себя очень важный вопрос: какую математику преподают в школе?
Персональный преподаватель вынужден учитывать не только временнЫе ограничения, но и максимально использовать ресурс школы.
Если в школе всё-таки каким-то образом объясняют тригонометрию или логарифмы, то возможно не стоит торопиться. Можно подождать пока там хоть как-то объяснят начальные темы, а уже потом мы докрутим их до экзаменационного уровня.
В этом и кроется гибкость работы репетитора. Частный преподаватель в любой момент может переключиться на нужную тему с учётом всей входящей информации и используя все доступные средства.
Буквально сегодня ученица мне пожаловалась, что они в школе проходят иррациональные уравнения и она не до конца понимает методы их решения.
Из списка задач на дом мы выбрали четыре, которые и разобрали на занятии.
В этих уравнениях использовались равносильные преобразования, которые потом пригодятся в параметрах.
Очень прагматичный подход – если это нужно для экзамена, можно чуть изменить план подготовки и разобрать то, что важно именно сейчас. Ученик должен брать максимум знаний не только у репетитора, но и у школы. И рассматривать в том числе и её как критически важный элемент подготовки.
Кажется, в этом есть и основное отличие репетитора – его ученикоцентричность.
С этим же связана и главная проблема, из-за которой, например, некоторые школьные учителя так и не могут найти себя на ниве профессионального репетиторства.
Вместо того, чтобы преподавать лично ученику, они по привычке преподают ему как целому классу, состоящему из одного человека. Отталкиваясь только от своей программы и своего видения. И в меньшей степени учитывая контекст для данного конкретного ученика.
В общем, спасибо Wild’у за интересную дискуссию.
Кстати, из того поста коллеги отмечу ещё вот такую идею:
«В теме производной один раз по-честному доказываем, что (x²)'=2x, а если есть время, то и (xⁿ)'=n∙xⁿ⁻¹ для натуральных n (через бином Ньютона). Используем определение производной через предел, но не вдаемся в определение и свойства предела (тратить на это время с полного нуля неоправданно).»
С учениками посильнее видимо действительно лучше подробно это всё прорабатывать.
Обязательно возьму себе на вооружение.