Под прошлой статьёй возникла довольно интересная дискуссия, в ходе которой один из комментаторов пренебрежительно высказался про одно из мнемонических правил школьной тригонометрии, про так называемое «правила лошадки».
Дальше сам предмет разговора вышел за эти рамки и свёлся к вопросу о том, должны ли школьники уметь выводить все школьные утверждения, которые они используют на практике.
Для начала напомню читателям и педагогам по математике, которые не работают в старшей школе, что же это за «правило лошадки».
В тригонометрии есть тема «Формулы приведения».
Суть её в упрощении некоторых стандартных тригонометрических выражений. Например, таких sin(π+α), cos(α-π/2), tg(3π/2-α).
Обычно на занятиях сначала показывают примеры упрощений на тригонометрической окружности. Потом в качестве закрепления предлагают заполнить таблицу с разными примерами. А потом рассказывают, как с помощью простого мнемонического правила можно легко и быстро упрощать эти выражения.
Само это правило детально описывать здесь бессмысленно, т.к. для этого требуется рисунок и действия с ним. Вот это правило и называется «правилом лошадки» (почему-то исторически сложилось так, что именно это животное кивает или мотает головой при ответе на определённый вопрос...).
Преподаватели по-разному относятся к этой теме и этому мнемоническому правилу.
Есть те, кто прямо заставляет заучивать таблицу всех возможных вариантов. Как мне кажется (и вроде с этим согласится подавляющее большинство педагогов), это очень вредно для учеников. Память перегружается лишней информацией, хотя те же самые результаты можно получить проще.
Есть педагоги, которые ратуют именно за глубокое понимание темы и в каждом упрощении заставляют пользоваться только геометрией на тригонометрической окружности. Любые способы облегчить себе жизнь мнемоническими трюками они отвергают, считая их несерьёзными.
Однако «правило лошадки» скорее полезно для учеников, поэтому не вижу причины отвергать его.
Сам я в своей работе использую комбинированный подход.
Есть формулы приведения, которые действительно нужно знать. Не столько вызубрить без понимания, а именно знать, т.к. за ними стоит важная идея.
Например, sin(π/2-α), cos(π/2-α), tg(π/2-α), ctg(π/2-α).
Ведь по сути это формулы вида sin(90°-α), cos(90°-α), tg(90°-α), ctg(90°-α). И они используют замечательный факт, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Это с учениками желательно подробно разобрать и вспомнить.
Для sin(-α), cos(-α), tg(-α), ctg(-α) мы можем тоже рассматривать как формулы приведения: тут тоже изначально рисуем окружность, но потом снова эти формулы относим в разряд тех, которые нужно именно знать. Это всё-таки переход в важную тему чётности и нечётности тригонометрических функций.
Ещё есть формулы sin(π-α), cos(π-α), sin(α+π), cos(α+π), tg(α+π), ctg(α+π).
Для первых четырёх желательно представлять в голове окружность (но сначала на бумаге) и понимать, что в итоге получается. Две последние важны, т.к. выводят нас на тему периодичности.
А вот для всех остальных сравнительно редких и малоинтересных случаев лучше использовать мнемоническое правило.
И подобные дилеммы есть во многих разделах школьной математики.
Взять тот же дискриминант.
Должны ли школьники знать, откуда он взялся?
Да, это очень полезно. В группе даже была большая статья на эту тему. Однако, гораздо полезнее просто знать эту формулу и научиться применять её в разных ситуациях.
Вывод этой формулы – разовое действие, которое потом мало где применяется. Сама процедура вывода не закрепляет какие-то важные в дальнейшем идеи. Она очень технична и требует довольно высокого навыка работы с иррациональными выражениями. Хотя для устного экзамена на понимание школьной математики весьма полезна.
Но математика всё же скорее про решение задач. И в условиях ограниченного времени лучше вместо вывода дискриминанта мы изучим что-то для решения, чем будем заниматься выделением полного квадрата в общем случае (а именно так выводится формула).
Сюда же относится и формула сокращённого дискриминанта.
Показать её вывод ученику – обязательно. Он не должен думать, что она взята из воздуха. Требовать от ученика её вывод – не думаю. Важнее научится её применять.
Другой пример – начало геометрии в 7 классе. Пожалуй, самая неприятная часть школьной программы. Вводятся некоторые базовые понятия, аксиомы и появляются первые доказательства. Одними из первых доказываются признаки равенства треугольников.
Так вот доказательства первых двух признаков весьма своеобразны. Там используется приём наложения, которые ни до, ни после этой темы в программе не используется. Это настолько странные рассуждения, что от отчаяния школьники их просто зазубривают. Вряд ли это полезно... Да и понимание того, как реально строится доказательство, тоже не шибко-то и требуется. Конечно, можно сказать, что зато мы потом имеем право полноценно использовать эти признаки. Но стоит ли овчинка выделки?
При этом доказательство третьего признака – что называется must have. Его обязательно нужно уметь делать семиклассникам.
Следующий пример – производные.
В школе вроде как-то пытаются соблюсти приличия и вводят в 10-11 классах начала анализа. Что-то рассказывают про пределы, про приращения и проч. Хотя даже в физмат классах обычно мало кто понимает, о чём вообще идёт речь... Всё ради того, чтобы сделать вид, что у нас не хухры-мухры, а строгое логичное и последовательное изложение материала, а школьники теперь понимают, откуда взялись производные.
Но на самом деле всё сводится к тому, чтобы с боем заполучить несколько производных простейших функций и обосновать несколько базовых правил дифференцирования. И уже потом на основании них начать решать задания на применение производной.
Можно ли применять производную без пределов? Вполне.
Возможно, это даже более эффективный путь: дать сразу формулы, часть зазубрить без понимания (ведь для этого нужно хорошо знать пределы), часть вывести, но потом за счёт многократного использования выучить и их тоже, а после просто много раз применять в задачах.
А потом, если ученик захочет покопаться поглубже, можно и показать, откуда они взялись.
Дальше логарифмы.
Можно для самых простых формул показать вывод. Особенно для тех, которые дают более чёткое понимание того, что такое логарифм. Но пытаться их все выводить, чтобы использовать... Достаточно сказать, что есть такие правила и мы их будем просто применять. А откуда они взялись, для тех кому это важно, могут их самостоятельно вывести.
Как говорил Ричард Фон Нейман, «понять – значит привыкнуть и научиться использовать». Так вот, мне кажется, что эффективнее делать упор именно на применение, а уже потом, по мере привыкания можно вернуться к фундаменту и обоснованию.
Ещё пример: таблица умножения.
Конечно, полезно, когда ученик глубоко понимает умножение как многократное сложение. Но с какого-то момента он должен просто знать эти значения наизусть. Если он не знает, чему равно 7×8 и вместо этого каждый раз задумывается и вычисляет где-то в стороне 7×7+7, то это скорее «баг, а не фича».
То же самое и с таблицей квадратов чисел до 25. И с самыми частоиспользуемыми степенями однозначных чисел. Их безусловно можно посчитать, но желательно с определённого момента просто знать наизусть.
Кажется, что это всё бессмысленно для тех, что может всё вывести. Зачем загружать память?
Но память нужна не только для воспроизведения, но и для узнавания.
Ученик 8 класса не должен решать уравнение x²+6x+9=0 через дискриминант... Он должен уже узнавать в трёхчлене полный квадрат.
Более явный (уже олимпиадный) пример: формулы тройного угла в тригонометрии.
Например, для косинуса cos3α=4cos³α-3cosα.
Их легко самому вывести. Какое-то время это займёт, но вроде это более надёжно по сравнению с использованием памяти.
Или всё же нет?
Ведь как тогда быть, например, с уравнением вида 8x³-6x-1=0.
Вряд ли без знания формулы тройного угла можно додуматься разделить это уравнение на 2, получив
4x³-3x-1/2=0.
И в первых двух слагаемых разглядеть знакомую конструкцию и заменить x=cosα, чтобы потом выйти в тригонометрию.
Конечно, приведённые выше примеры больше отражают мой сугубо личный подход в работе. Я репетитор, и в условиях ограниченного времени мне приходится простраивать самую эффективную траекторию работы для каждого ученика.
При этом каждый преподаватель по-своему смотрит на математику.
Для кого-то важна стройная непрерывность и чтобы в программе одно вытекало из другого плавно и бесшовно. Кто-то именно это считает настоящим духом математики.
Кто-то смотрит на математику как на идеальный логический фундамент, показывающий ученикам незыблемость и твёрдость научного знания. Но тогда как же теорема Гёделя о неполноте и какая-нибудь континуум-гипотеза, к примеру?
Для кого-то это следующий уровень абстракций, которые в высшей школе становиться ещё более всеобъемлющим.
Мне же кажется, что математика – она про решение задач. И именно этому нужно учить школьников. В таком случае можно иногда пренебречь непрерывностью и строгостью и сразу давать инструменты, чтобы они с их помощью могли уже сразу что-то решать, то есть делать уже самим что-то в математике.
А если хочется познакомиться поглубже, то можно нырнуть отдельно с теми, кому это интересно. Для остальных это будет лишняя схоластика.
И ещё важная деталь для преподавания.
Педагог должен для себя понимать, зачем он даёт тот или иной материал школьнику, какую задачу сейчас решает с его помощью, какие цели преследует.
Не обязательно это проговаривать, но в голове держать надо.
Нужно смотреть на школьную математику шире, чем просто как на однообразное прорешивание задач из сборников ФИПИ для подготовки к ЕГЭ.