Пять девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?
ИИ объяснил лучше чем автор учебника:
1) Сначала может показаться, что ответ - это 5! (5 факториал), то есть 120. Это было бы верно, если бы девушки выстраивались в линию.
2) Однако в хороводе (круге) ситуация немного другая. В круге не имеет значения, с какой позиции мы начинаем отсчет. То есть, если мы повернем весь хоровод, это будет считаться тем же самым расположением.
3) Это означает, что каждая уникальная комбинация учтена в нашем первоначальном подсчете 5 раз (по числу девушек, так как хоровод можно повернуть 5 разными способами, и это будет считаться одним и тем же расположением).
4) Поэтому, чтобы получить правильный ответ, нам нужно разделить общее число перестановок на количество девушек:
5! / 5 = 120 / 5 = 24
Таким образом, пять девушек могут встать в хоровод 24 различными способами.
Это также можно выразить формулой (n-1)!, где n - количество человек в хороводе. В данном случае (5-1)! = 4! = 24.
Автор:
наденем на одну из девушек красную
шапочку, чтобы отличать её от остальных. Затем про-
нумеруем всех девушек, следующих за ней, против
часовой стрелки — ту, которая по правую руку от
Красной Шапочки, назовем первой, следующую —
второй и так далее. Тогда в качестве первой девушки
может быть любая из четырёх (ею могут быть все,
кроме самой Красной Шапочки), на втором месте
может быть любая из трёх оставшихся и так далее.
В итоге получаем 4! = 24
===
Не понимаю, что такого происходит при превращении линии в круг?
ИИ:
1. В линии:
- Важен как порядок, так и начальная точка.
- Расположение АБВГД отличается от БВГДА.
2. В круге (хороводе):
- Важен только относительный порядок.
- Начальная точка не имеет значения.
- Расположения АБВГД, БВГДА, ВГДАБ, ГДАБВ и ДАБВГ считаются идентичными.
Пример:
Представьте, что вы фотографируете хоровод. Неважно, с какой девушки вы начнете описывать круг - фотография останется той же самой.
Это означает, что каждое уникальное расположение в круге учитывается 5 раз в линейном расчете (5!), поэтому мы делим на 5, чтобы получить правильное количество уникальных расположений в круге.
Таким образом, превращение линии в круг уменьшает количество различных расположений в 5 раз (в данном случае).