В прошлых статьях мы рассматривали движение по прямой линии, находили скорость, пройденное расстояние, время, ускорение, а что же делать если линия не прямая, а кривая и имеет подобный вид:
В ней тело движется не по прямой линии. Что-же делать? Всё довольно просто, давайте обратим внимание на дуги этой линии(след. изображение), они напоминают часть окружности или эллипса.
Угловая скорость.
Тогда мы можем пройденный путь обозначать углом дуги(φ, радианах или градусах), которую прошло тело, а скорость угловой скоростью(ω), а угловая скорость будет определяться, как отношение угла пройденного телом и временем, за которое тело прошло этот угол: ω = φ / t.
А для того, чтобы узнать больше формул, нам понадобиться раскрыть ещё пару понятий.
Период и частота обращения.
Сначала введём понятия периода и частоты обращения тела по окружности, где
T - период обращения - промежуток времени, за который материальная точка проходит один оборот по окружности (но также период применим и для колебаний, но это позже). Измеряется [T] = [c]
Из определения можем вывести формулу:
T = t / N, где t - время в секундах, а N - кол-во оборотов(безразмерная единица).
ν - частота колебаний - число оборотов материальной точки по окружности за единицу времени(также применимо и для колебаний). Измеряется [ν] = [c^-1] (секунда в степени минус 1).
Из определения выведем формулу:
ν = N / t, где N - кол-во оборотов(безразмерная единица), а t - время в секундах.
Как можно заметь период и частота обратно пропорциональны друг другу и это мы будем применять в будущем.
T = 1/ν , ν = 1/T.
Линейная скорость.
Линейная скорость - это мгновенная скорость точек вращающегося тела или тела, которое движется по дуге окружности.
Из формулы для прямолинейного движения, длинны окружности и определения, можем вывести формулу для линейной скорости:
Формулы угловой скорости.
Теперь же продолжим выводить новые формулы для угловой скорости.
Вспомним понятие периода - время нужное для прохождения полного оборота, а один оборот это 2π (360 градусов), а время в первоначальной формуле заменяется на период. В случае же с частотой, которая является обратным значением.
А сейчас можно вспомнить, что угол на который сместилось тело можно определить через L/R, где L - длинна дуги, а R - радиус окружности, и подставить это отношение в начальную формулу, проведя дополнительные манипуляции получим окончательную формулу.
Отсюда также легко вывести формулу линейной скорости: V = ωR.
Центростремительное ускорение.
Для начала нам нужно понять, что это такое:
Центростремительное ускорение — это составляющая ускорения тела, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости. Не самой скорости, а именно вектора скорости, то есть направления скорости, хотя сам вектор всегда перпендикулярен радиусу(то есть скорость направлена по касательной к окружности)(рис. 1).
Чтобы двигаться по окружности у тела должны быть две компоненты скорости, скорость направленная к центру центростремительная скорость и скорость направленная к центру или тангенциальная скорость.
Далее вспомним формулу ускорения из прямолинейного движения:
a = ΔV/t, где ΔV - изменение скорости (V1 - V0)
Чтобы получить эту ΔV, нам на чертеже нужно произвести параллельный перенос и перенести V1 к V0(рис. 2).
При вычитании векторов воспользуемся правилом треугольника и соединим концы векторов получив ΔV, с вектором направленным в центр окружности.
Обращу ваше внимание на получившийся треугольник и то, что он будет подобен большему треугольнику(упростим наши вычисления представив, что тело прошло не большое расстояние и дуга этой окружности для нас будет прямой линией). А также давайте выведем соотношение сторон этих треугольников, взяв отношение боковой стороны большего треугольника(R) и боковую сторону меньшего треугольника (V0), а также отношение оснований большего треугольника(для упрощения это прямая линия, пусть она будет L) и основание меньшего треугольника(ΔV), получаем соотношение, из которого, нам нужно узнать ускорение, а как говорилось ранее ускорение это ΔV/t, время же возьмём расписав L = V0 * t.
Так же выведем формулу центростремительного ускорения, если неизвестен радиус, для этого вспомним формулу для линейной скорости, через угловую скорость: V = ωR, и вынесем от туда радиус: R = V/ω, далее подставим эту формулу в формулу центростремительного ускорения и получим:
Можно продолжить играться с формулами и продолжить их выводить, к примеру взять последнюю формулу центр ускорения a = Vω и вместо ω поставить формулу углового ускорения, например, через период, а вместо V поставить формулу для линейной скорости через 2π и T, или сделать всё тоже самое, но через частоту и т.д.
Всего таких формул у меня получилось 14, если сможете вывести ещё одну, то обязательно пишите в комментариях, а для удобства я прикреплю таблицу со всеми формулами из сегодняшней статьи:
Движение по орбите.
Чаще всего применение этих формул и понятий можно встретить, когда описывают движение спутников вокруг Земли.
Все мы знаем, что Земля притягивает к себе объекты в силу закона Всемирного тяготения. Это означает, что вблизи Земли действует сила, направленная к её центру масс.
Так вот если запустить тело с некоторой скоростью, направленной параллельно поверхности Земли, то сила тяжести создаст ускорение, в направлении перпендикулярном направлению скорости. В этом случае скорость не будет меняться по величине, но ее направление будет меняться из-за ускорения, создаваемого силой тяжести.
Это и будет центростремительное ускорение: ускорение, стремящееся к центру вращения тела. Тело ведь из-за постоянного изменения направления скорости будет вращаться вокруг Земли.
Но вообще любое движение по окружности можно описать формулами из этой статьи: движение спутников вокруг планет, раскрученный камень на верёвке, вращающаяся карусель, езда на петлях американских горок, вращение на барном стуле и как я упомянул в начале, понятия период и частота оборота можно использовать и для описания колебаний(механических или электромагнитных) и много-много чего ещё, главное не забудьте учесть сопротивление воздуха.
На сегодня наша статья подходит к концу, делитесь в комментариях тем, насколько было понятно, и что стоит разъяснить более подробно.
На следующем уроке мы перейдём к Динамике, ещё одному разделу Механики.
