В природе неизменные величины встречаются очень редко. Большинство величин подвержены случайной изменчивости. Иногда мы можем указать причины изменений. Иногда причины изменчивости известны частично, а порой неизвестны вовсе.
Колебания напряжения в электрической сети
В таблице 1 даны результаты 25 измерений напряжения в бытовой электросети. Все измерения сделаны днём, в случайно выбранные моменты.В России номинальное напряжение в бытовых сетях 220 В (вольт). На самом деле напряжение редко равно в точности 220 В. Электрические приборы в России рассчитаны на колебания напряжения в определённых пределах. Если вы посмотрите на заднюю панель микроволновой печи или холодильника, вы найдёте табличку, где написан интервал рабочего напряжения. Например, от 190 до 250 В. Если напряжение выходит за эти пределы, прибор может выйти из строя. Поэтому в некоторых случаях люди используют стабилизаторы напряжения, которые уменьшают изменчивость.
Урожайность зерновых культур
Урожайность – очень важный показатель, который отражает эффективность сельского хозяйства. Для формирования экономической и социальной политики государства, для обеспечения продовольственной безопасности страны необходимо изучать причины, влияющие на урожайность. Такие исследования ведутся во многих странах не одно столетие.
Урожайность измеряется в центнерах с гектара. Например, в 2012 г. с одного гектара посевной площади в среднем по России собрано 18,3 ц зерновых культур. На диаграмме 1 предоставлены два ряда данных: урожайность и средняя урожайность за 5 лет (текущий год и четыре предыдущих) по данным с 2000 по 2017 г.
Массовое производство
На обёртке шоколадного батончика написано, что его масса 50 г. Это номинальная масса. В таблице 73 даны массы двадцати купленных одинаковых батончиков, полученные с помощью взвешивания. Наибольшее значение 52,0 г, а наименьшее 48,1 г. Размах – 3,9 г. И только один батончик весит в точности 50 г. Но средняя масса всех двадцати батончиков равна 50,01 г, т. е. практически не отличается от номинальной.
Такая ситуация часто встречается при массовом производстве. Если отклонение размера, массы мало отличается от заданного стандарта, т. е. находится в пределах допустимой погрешности, то изделие считается годным.
Среднее арифметическое набора чисел – это сумма всех чисел, делённая на их количество.
Задание 1
Чему равно значение выборки 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 11, 12?
Решение:
Среднее арифметическое (среднее) значение выборки – это отношение всех элементов к их количеству
Разность между наибольшим и наименьшим значением данных в наборе называется размахом.
Задание 2
Найдите размах выборки 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 11, 12.
Решение:
Наибольшее – 12, наименьшее – 5.
Размах: 12 – 5 = 7
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Задание 3
Дана выборка 2, 3, 4, 7, 9, 2, 4, 7, 7. Нужно найти медиану этой выборки.
Решение:
Для начала нужно упорядочить этот ряд. То есть записать его в порядке возрастания: 2, 2, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 9. В данной выборке девять элементов (нечётное количество), значит медиана данной выборки, пятое число справа (или слева). Медиана – 4.
Мода – это наиболее часто встречающееся в числовом ряду значение.
Задание 4
По алгебре ученик получил такие оценки: 4, 5, 5, 4, 3, 5, 5, 4, 4, 4. Как оценить успеваемость ученика?
Решение:
Тут можно посчитать среднеарифметическое, но есть способ короче.
Одной из важнейших характеристик числового ряда является наиболее типичное значение для этого ряда, то есть число, которое в нём встречается чаще всего (мода).
В примере, если посчитать количество оценок, получается: «3» – 1, «4» – 5, «5» – 4. Модой будет число 4. Соответственно и за данный учебный период ученик получает 4.
Ряд чисел может иметь несколько мод (например, ученик получил бы ещё одну 5, то моды было бы две) или же моды может не быть вовсе (например, если у ученика были бы три тройки, три пятёрки и три четвёрки).
Задание 5
Участник конкурса получил от жюри следующие следующие оценки по 12-ти бальной шкале: 6, 9, 6, 9, 7. Какую оценку он должен получить от шестого члена жюри, чтобы средний бал равнялся 8?
Решение:
Для начала составлю уравнение. Шестой бал обозначу привычным иксом
Упрощаю числитель и умножаю правую и левую часть (справа и слева от "равно") на шесть, чтобы избавиться от знаменателя
Ну а дальше всё просто
Ответ: шестой член жюри должен поставить 11, чтобы средний бал равнялся 8.
Задание 6
Средний рост 25 учеников равне 170 см, а средний рост 20 из них – 165 см. Чему равен средний рост оставшихся 5?
Решение:
Так как средний рост 25 учеников равен 170, значит сумма их ростов равна 4250 см. А сумма ростов 20 из них равна 3300 см. Значит сумма ростов оставшихся пяти учеников равна 950 см, то есть их средний рост равен 190 см.
Задание 7
В организации вели ежедневный учёт поступивших в течении месяца звонков. В результате получили: 41, 45, 42, 2, 58, 40, 26, 23, 37, 40, 2, 60, 33, 51, 40, 27, 36, 2, 54, 42, 44, 42, 41, 56, 2, 66, 46, 52, 40, 39, 34. Для данного ряда найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиану.
Задание 8
Вычислите среднее арифметическое числового набора:
а) 1, 6, 7, 7, 9;
б) 20, 45, 75, 70, 90;
в) 297, 713, 375, 819, 796.
Задание 9
а) пользуясь таблицей выше, найдите среднюю урожайность зерновых культур в России за четыре года: с 2014 по 2017 год;
б) найдите среднюю урожайность зерновых культур в России за четыре года: с 2010 по 2013 год;
в) сравните средние значения из а) и из б). С чем по вашему мнению связаны перемены?
Задание 10
Найдите медиану набора чисел:
а) 12, 4, 22, 5, 18;
б) 27, 17, 19, 28, 18;
в) 28, 53, 28, 32, 30, 43.
Задание 11
Найдите размах и моду ряда чисел:
а) 33, 27, 18, 26, 15, 21, 26;
б) 33, 8, 26, 8, 31, 34;
в) -4, -9, 0, 7, 0, 9, 11, -15.
