Часы с часовыми и минутными стрелками одинаковой длины Эта задача о "нечетких часах" была заключительным вопросом в Австралийском математическом конкурсе 2020 года (Средний уровень — 9 и 10 классы).
Часовщик сделал 12-часовые часы, но с одинаковыми часовыми и минутными стрелками. Нечеткое время на этих часах — это время, когда невозможно определить, который сейчас час, так как точное положение двух стрелок повторяется дважды за 12-часовой цикл.
Сколько нечетких моментов происходит в течение 12 часов с полудня до полуночи?
Понимание проблемы
Сначала может показаться, что все времена являются нечеткими, так как невозможно определить, какая стрелка часовая, а какая минутная.
Но на самом деле большинство времен не являются нечеткими, и с небольшим размышлением эти часы обычно позволяют определить время. Рассмотрим, например, следующее положение стрелок на часах.
Это должно быть 8:00 вечера Одна стрелка указывает точно на 8, а другая точно на 12.
Это 8 вечера, верно?!
Может ли это быть что-то другое? Что если бы стрелка, указывающая на 12, была часовой стрелкой, а стрелка, указывающая на 8, была минутной стрелкой?
Это никогда бы не произошло, потому что если бы было 40 минут после 12, часовая стрелка уже не указывала бы прямо на 12.
Итак, показанное время не является нечетким. Оно происходит только один раз между полуднем и полуночью.
Итак, что может быть примером нечеткого времени?
Посмотрите на следующее положение стрелок на часах.
Время может быть 4:37 вечера или 7:23 вечера Эта позиция действительно возникает дважды в течение 12-часового цикла, примерно в 4:37 вечера и 7:23 вечера. Следовательно, для этой позиции существует 2 нечетких времени. (На самом деле, этот пример был приведен в заявлении задачи в конкурсной работе).
Алгебраический подход
Начнем с полудня и попытаемся определить, когда возникает первое нечеткое время.
В полдень обе стрелки указывают прямо на 12.
В течение первых 5 минут обе стрелки указывают где-то между 12 и 1. В этом интервале нет нечетких времен, потому что минутная стрелка должна быть стрелкой справа (она не завершила полный круг).
Но как только одна из стрелок пройдет за 1, наступает время для нечеткости!
Первое нечеткое время возникает сразу после 1:00 дня, когда минутная стрелка завершает чуть более одного полного оборота.
Мы можем точно определить, когда возникает первое нечеткое время с помощью небольшого расчета. Минутная стрелка делает полный оборот на 360° за 60 минут, поэтому она движется со скоростью 6° в минуту.
Часовая стрелка делает полный оборот за 12 × 60 = 720 минут, поэтому она движется со скоростью 360 ÷ 720 = 0,5° в минуту.
Пусть x будет истинным числом минут с полудня, а y — числом минут после полудня для более позднего времени, которое дает ту же позицию стрелок. Мы ищем ситуацию, в которой минутная стрелка после x минут находится точно там, где часовая стрелка после y минут, и также часовая стрелка после x минут находится точно там, где минутная стрелка после y минут.
Итак, мы можем установить и решить уравнения:
6x = 0,5y
0,5x = 6y − 360
Обратите внимание, что мы вычитаем 360 во втором уравнении, потому что минутная стрелка y прошла чуть более одного полного круга часов.
Эти уравнения имеют (приблизительные) решения x = 5,03 и y = 60,42.
Это означает, что первое нечеткое время наступает через 5,03 минуты после полудня, сразу после 12:05. Положение стрелок на часах в это время идентично положению через 60,42 минуты после полудня.
Для второго нечеткого времени мы позволяем минутной стрелке y сделать еще один полный круг. Мы просто модифицируем второе уравнение, вычитая 2 × 360:
6x = 0,5y
0,5x = 6y − 2 × 360
Эта система уравнений должна иметь решение, и аналогично мы будем получать еще одну пару нечетких времен каждый раз, когда минутная стрелка y делает еще один полный круг.
Каждый раз у нас будет пара уравнений:
6x = 0,5y
0,5x = 6y − 360n
где n — количество полных кругов, которые сделала минутная стрелка y.
Каждый раз мы будем получать уникальное и отличное решение для (x,y), которое дает два нечетких времени. n может принимать целые значения от 1 до 11 включительно, что дает 11 пар нечетких времен.
Теперь, как только минутная стрелка x сделала полный круг (т.е. время прошло 1:00 дня), нам нужно вычесть 360 из первого уравнения:
6x − 360 = 0,5y
0,5x = 6y
Но это просто первая пара уравнений, которые мы составили, только с x и y помененными местами. Мы уже учли эти нечеткие времена. И если мы придерживаемся соглашения, что y — это более позднее время, мы можем отклонить это решение и избежать двойного учета.
А как насчет этой пары уравнений?
6x − 360 = 0,5y
0,5x = 6y − 360
Оно полностью симметрично, давая решение x = y = 65,45.
Нам не нужно это решение. Оно не является нечетким, так как существует только одно время между полуднем и полуночью, когда это положение возникает (а именно 65,45 минут после полудня).
Таким образом, n может принимать целые значения только от 2 до 11 (поскольку y должно быть более поздним временем).
Это дает 10 новых пар нечетких времен.
Теперь мы можем экстраполировать и позволить x дойти до полуночи.
Мы хотим получить все решения для:
6x − 360m = 0,5y
0,5x = 6y − 360n
где 0 ≤ m < n ≤ 11.
Это означает, что пара целых чисел (m,n) может быть:
(0,1), (0,2), (0,3) ... (0,11) (1,2), (1,3) ... (1,11) ... (10,11)
Для каждой пары (m,n) мы получим новую пару нечетких времен. Количество пар равно 1 + 2 + 3 + ... + 11 = 66, следовательно, количество нечетких времен равно 2 × 66 = 132.
Графическое представление решений
Если мы построим графики уравнений:
6x − 360m = 0,5y
0,5x = 6y − 360n
на плоскости x,y, мы получим наглядное представление, показанное ниже.
Каждая из зеленых линий — это график уравнения 6x − 360m = 0,5y, где 0 ≤ m ≤ 11. Каждая из синих линий — это график уравнения 6y − 360n = 0,5x, где 0 ≤ n ≤ 11.
Каждая точка пересечения, кроме тех, что находятся на диагонали y = x, представляет собой отдельное нечеткое время. Всего 12 × 12 = 144 точки пересечения, но вычитая 12 на диагонали, мы получаем 132 нечетких времени.
Интуитивный подход
Кажется логичным, что почти в каждом 5-минутном интервале есть нечеткое время.
Например, предположим, что одна стрелка находится между 8 и 9, а другая — между 5 и 6.
Между 5:40 вечера и 5:45 вечера минутная стрелка розовых часов перемещается от 8 к 9. Часовая стрелка почти не движется (фактически, она движется всего на 2,5° за этот 5-минутный интервал).
Белые часы между 8:25 вечера и 8:30 вечера делают то же самое. Минутная стрелка перемещается от 5 к 6, но часовая стрелка всегда примерно на полпути между 8 и 9.
Поэтому логично, что в каждом из этих 5-минутных интервалов будет нечеткое время, когда одна стрелка примерно на полпути между 8 и 9, а другая примерно на две трети пути от 5 к 6.
Единственным исключением будет случай, когда обе стрелки указывают где-то между одной и той же парой чисел. Когда две стрелки пересекаются, время не является нечетким.
Часовая стрелка все расскажет
Другой интересный способ рассмотреть эту проблему — осознать, что если мы знаем точное положение часовой стрелки, минутная стрелка на самом деле не нужна. Минутная стрелка существует только для удобства, потому что невооруженным глазом трудно определить точное положение часовой стрелки.
Таким образом, для любого положения часовой стрелки существует только одно возможное положение минутной стрелки.
Теперь давайте добавим третью стрелку на часы, которая будет находиться там, где была бы минутная стрелка, если бы минутная стрелка была часовой. По сути, она будет двигаться в 12 раз быстрее минутной стрелки.
Когда эта третья стрелка пересекает часовую стрелку, у нас возникает нечеткое время, потому что теперь у нас якобы только две стрелки, и каждая из них может быть либо часовой, либо минутной!
Третья стрелка будет пересекать первую стрелку каждый раз, когда она завершает полный цикл. За 12-часовой цикл она завершит 144 цикла.
Но снова нам нужно вычесть 12 раз, когда все три стрелки совпадают, так как это не является нечетким временем.
Это еще один хороший способ осознать, что за каждый 12-часовой цикл должно быть 132 нечетких времени.
