Со школьной скамьи нам доносят истину о математическом, геометрическом и физическом смысле ключевых понятий дифференциального исчисления: производной, дифференциала, интеграла, предела. Очень полезные понятия, междисциплинарные, прорывные. Проверено временем. Но физическая ясность этих понятий не достаточно строга, по этой причине, не очевидна (мгновенная скорость, тангенс угла наклона касательной и т.п.). Ибо в них со времён Лейбница и Коши употребляется бесконечность, устремления к нулю, бесконечно малые. Вводится в обиход понятие предела. А нельзя ли без них? Оказывается можно! И даже нужно! И при этом многое проясняется и упрощается, наполняется ясным смыслом и содержанием. Изучение становится простым и понятным. Некоторые условности просто исчезают. Для этого следует посмотреть основы дифференциального исчисления через призму взаимодействий - причину изменчивости, общего эволюционного механизма.
Рассмотрим умозрительную модель взаимодействий - модель броуновского движения частиц. Пусть в определённом объёме в единицу времени происходит N взаимодействий частиц. Пусть взаимодействия, как и частицы, равномерно распределены по объёму. Тогда, в одной тысячной части этого объёма происходит уже в тысячу раз меньше взаимодействий. В миллионной части объёма - в миллион раз меньше. И чем меньше рассматриваемый объём, тем меньшее количество взаимодействий в единицу времени в нём происходит. Тоже самое можно сказать и про интервал времени. Чем меньше интервал рассматриваемого времени наблюдения за взаимодействиями, тем меньшее количество взаимодействий происходит за этот интервал. Прослеживается прямая зависимость между количеством взаимодействий и величинами объёма (пространства) и интервалами времени наблюдения. Таким образом, имеется теоретическая возможность подобрать такие масштабы времени и пространства, что бы наблюдаемая картина взаимодействий системы представляла собой последовательность событий-взаимодействий, где в определённый интервал времени ( ∆t), в определённом объёме пространства (одномерном для простоты - dx или ∆x) происходило только одно событие, а в каждом событии участвовало только две частицы (два объекта). И такой подход к масштабированию справедлив для любой системы взаимодействий, не обязательно броуновской. Тогда любой параметр У, в одном событии формально зависящий от другого переменного параметра (например: x или t или произвольного параметра - u) как функция y=f(x), y=f(t), y=f(u) , изменится линейно на dy или ∆y так как является функцией одной переменной. Этот подход полностью соответствует Первому закону Ньютона, смысл которого прост: нет внешних взаимодействий объекта - нет действующих на него внешних сил, а если нет сил - ничего не изменяется в состоянии объекта.
Проиллюстрируем воображаемую модель.
Классическая, общепринятая трактовка понятий производная и дифференциал отображена на рис.2. Мы не будем подробно на ней останавливаться. Только освежим воспоминания.
Исходя из общепринятых понятий (рис.2) не заметна смысловая разница между dx - бесконечно малым (б.м.) приращением аргумента и просто приращением аргумента ∆x , а так же б.м. приращением функции dy и просто приращением функции ∆y. Эту разницу определяют через предел отношения приращения функции к стремящемуся к нулю приращению аргумента и называют это производной. Смысловой разницы не очевидна. А отсутствие смысловой разницы вытекает из физики взаимодействий - причины появления приращений. Никакой разницы и быть не может если рассматривать единичное взаимодействие по параметру , в результате которого функции y=f(x), на интервале между событиями {X0,X0+∆X }изменяется линейно, а приращения б.м. и имеющие величину будут полностью равны в количественном и смысловом выражении.
И в понятии предела появляется иной смысл, если принять, что ∆x устремляется не к нулю , а к такому значению, при котором функция у = f (x) на интервале {x0,x0+∆x } имеет линейный участок.
А вот теперь мы рассмотрим рис. 3, на котором изображено изменение произвольной функции у=f(x) , в зависимости от допустим восьми (N=8) событий-взаимодействий. Мы подобрали такие условия, масштабы, что от события к событию функция у=f(x) изменяется линейно (первый закон Ньютона выполняется). То есть, иные причины изменения, между ближайшими взаимодействиями отсутствуют. Отсюда форма кривой преобразуется в форму ломаной с прямолинейными участками между событиями. Тогда, количественная оценка этого изменения в точках 1-8 соответствует отношению приращения функции к приращению аргумента
Что называется производными функции у =f (x) в точках 1-8. При этом приращения ∆Уi , ∆Xi, есть дифференциалы функции и дифференциалы аргумента соответственно. И никаких больше dx и dy не нужно в принципе, за ненадобностью. Тогда определение производной следующее. Производная функции у =f (x) в заданной точке x есть отношение приращения функции ∆У к приращению аргумента ∆X в заданной точке, на линейном участке функции. При этом, ∆X - является величиной аргумента , характеризующим интервал между ближайшими событиями-взаимодействиями. Эти же приращения по смыслу и содержанию есть дифференциалы функции и аргумента соответственно.
А что же теперь с интегралами? Всё становится намного проще и понятнее.
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Освежим воспоминания при помощи Википедии.
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определённый интеграл есть сумма площадей под ломаной кривой на интервале событий {1....8} (рис. 4).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Если бы приблизительно так (в этом направлении) преподавали основы дифференциального исчисления в школах и на первых курсах ВУЗов, насколько бы проще и понятнее закладывались в голову смыслы математических методов описания природы. А главное, без отрыва от физических смыслов. Ни одной теоремы. На трёх страницах. В одну лекцию. В один семинар. А дальше - широчайшее развитие темы в направлении функций нескольких переменных, уравнений в частных производных, тройных интегралов и прочее. А главное, в подходе через физику взаимодействий прослеживается глубочайшая методология познания. В своё время Гельмгольц писал : «задача физических наук состоит в том, чтобы все физические явления свести к силам притяжения и отталкивания, величина которых зависит от расстояния между взаимодействующими точками». А ведь силы отталкивания и притяжение, как и все другие силы, есть результат взаимодействий различной природы (размерности). Об этом догадывались уже в XIX веке. Таким образом, задача физических наук (естествознания) состоит в том, что бы все явления природы свести к взаимодействиям. Помните, Д.И. Менделеев советовал физику, химию и математику преподавать на одной кафедре? Ведь прав был бородатый! Тысячу раз прав! Гений! А что же нам мешает, непутёвым, вернуться к смыслам?
С уважением к читателю, Николай Брылёв.
Проект "Философия Относительности" nbrilev.ru
