Вот интересный эксперимент для проверки. Возьмите свой калькулятор. Теперь используйте его, чтобы извлечь квадратный корень из 9.8 (помните, что g = 9.8 Ньютона на килограмм). Что вы получите? СПОЙЛЕР — это 3.13 что-то. Да, это довольно близко к значению числа пи. Это совпадение? НЕТ.
Но почему? Почему квадратный корень из g примерно равен пи? Начнем с g. Хотя это часто называют "ускорением вследствие гравитации", на самом деле это величина локального гравитационного поля. Его значение — 9.8 Ньютона на килограмм, но это также 9.8 метров в секунду². Важной в этой единице является метр. Да, это вина метра.
Метр и секундный маятник
Людям нужно измерять расстояние — как иначе вы могли бы что-то строить? В древние времена разные группы людей имели разные стандарты для измерения длины. Так у нас появились такие странные единицы, как «футы» и «дюймы», которые, к сожалению, до сих пор используются.
Однако в 1660 году Королевское общество хотело определить длину метра, используя секундный маятник. Идея заключалась в том, чтобы сделать маятник (массу на конце качающейся веревки) таким образом, чтобы он качался из стороны в сторону за 1 секунду или туда-сюда за 2 секунды (таким образом, его период колебаний составлял бы 2 секунды). Длина этого секундного маятника затем стала бы стандартной единицей расстояния в 1 метр.
Это гораздо сложнее, чем вы могли представить. Почему? Потому что как вы узнаете, что такое 1 секунда? О, это просто — правда? Просто возьмите 1 день и разделите на 24 часа, затем разделите на 60 минут, затем разделите на 60 секунд — и вот, 1 секунда. Хорошо, это кажется неплохим, но есть проблема. Не все дни имеют одинаковую длительность. Так что, получить одну секунду не так уж и просто.
Ладно. Допустим, у нас есть приблизительная длина 1 секунды. Теперь мы могли бы отрегулировать длину маятника, пока он не начнет занимать 1 секунду, чтобы дойти от одной стороны до другой. Эта длина определена как метр. Разве это говорит нам о том, почему квадратный корень из g равен пи? Это часть истории.
Период маятника
Допустим, у вас есть масса, висящая на веревке длиной L. Если вы оттянете её в сторону (немного) и отпустите, она будет качаться туда-сюда. На самом деле, если начальный угол смещения мал (менее 15 градусов), то движение этой качающейся массы почти точно такое же, как у массы, соединенной с пружиной. Мы называем это — простым гармоническим движением.
Ключ к любому простому гармоническому движению заключается в том, что существует сила, тянущая объект обратно к положению равновесия, И величина этой силы пропорциональна смещению. Это будет верно как для массы на пружине, так и для маятника с малым углом. Однако замечательное в простом гармоническом движении то, что мы можем описать его следующим уравнением движения:
Где ω — угловая частота колебаний. Если мы знаем восстанавливающую силу (мы знаем), тогда мы получаем следующее выражение для ω и периода (T).
О, если вы хотите, чтобы ВСЕ детали вывели эти выражения — вот вам видео.
Ответ на все вопросы
ОК, вернемся к маятнику длиной 1 метр. Если L равно 1 метру, а T равно 2 секундам, то мы можем решить значение g.
Вот и всё. Квадратный корень из g равен пи.
Что не так с секундным маятником?
Конечно, этот метод определения метра не лучший. Просто представьте, что вы находитесь на экваторе Земли. В этом случае эффективное гравитационное поле меньше 9.8 Н/кг из-за вращения Земли. Это добавляет дополнительную (ложную) наружную толкающую силу из-за центробежного эффекта. По мере приближения к полюсам этот эффект минимизируется, потому что вы будете ближе к оси вращения.
Есть еще одна проблема — неоднородная плотность Земли. Поскольку Земля не является совершенно однородным шаром, гравитационное поле варьируется из-за изменений в материале земной коры и даже из-за близлежащих гор. Таким образом, секундный маятник не дает одинакового значения метра для всех на Земле.
Другое определение метра использовало саму Землю — поскольку все (теоретически) находятся на одной планете. Это говорит о том, что расстояние от экватора до Северного полюса составляет 10 миллионов метров. Таким образом, вы можете получить значение одного метра, протянув веревку от экватора до Северного полюса и разрезав ее на 10 миллионов равных частей. Я шучу — не делайте этого.
Конечно, наше текущее определение метра даже не зависит от Земли. Сейчас это расстояние, которое свет проходит за 1/299792458 секунды, где 1 секунда — это время, за которое атом цезия-133 колеблется 9,192,631,770 раз. Таким образом, любой, где бы он ни находился во вселенной, может сделать свою собственную мерку.