Здравствуйте! По запросам трудящихся разбираю сегодня тему логарифмов. Большинство людей к ней неравнодушны: кто-то любит, а кто-то тяжело вздыхает, закатывая глаза: "только не они..."
0. Понятие логарифма.
В целом, может показаться, что сверху написана какая-то каша. Обратимся к части, что логарифм - показатель степени. Дело в том, что до изучения логарифма выясняется, что степени могут быть отрицательными, дробными, иррациональными и тд. Рассмотрим пример:
Нужно мысленно связать начало и конец: из 8 получилось 16√2 - это все какие-то степени двойки и есть возможность поиграться с базовыми свойствами степеней и получить ответ.
А как из 6 получить 7? Или из 11 сделать 16? Микро-спойлер: это реально и именно для этого существуют логарифмы.
Из определения вытекает первое основное свойство логарифмов:
1. Свойства логарифмов.
Перед рассмотрением свойств логарифмов нужно узнать, что существует некоторый равносильный переход:
То есть мы как бы "идем по кругу": возводим основание в степень, которой равен логарифм и получаем число, которое в этом самом логарифме содержалось.
1. При возведении любого числа в степень 0 получится 1:
2. Здесь даже и думать нечего: a^1=a
3-12. Свойства пред глазами, теперь осталось научиться пользоваться на примерах:
В целом, после небольшой практики логарифмы вычисляются устно. Подробно я расписала для того, чтобы был понятен ход мысли.
2. Логарифмические уравнения
При решении логарифмических уравнений нужно знать:
- Ограничения, которые существуют в логарифмических функциях (они все указаны в свойствах выше)
- Равносильные переходы
- Свойства логарифмов
Рассмотрим детальнее.
Как видно из всех предыдущих примеров, ОДЗ играет крайне важную роль. Нет ОДЗ = нет верного ответа. Практически всегда есть лишние корни.
3. Логарифмические неравенства.
Здесь всё также, как и в уравнениях, только добавляется правило:
Если основание логарифма больше 1, то знак неравенства при равносильном переходе не меняется. Если основание от 0 до 1 - знак меняется на противоположный.
Это всё, конечно, прекрасно. Но стоит рассмотреть два очень похожих примера:
Решим несколько неравенств.
Сразу хочу заранее извиниться за следующее неравенство. Изначально оно выглядело адекватно, а потом было поздно сдавать назад..
А теперь отдохнем на лайте:
Как видно, в неравенствах нужно объединять область определения и само решение неравенства. Вот только так и никак иначе.
Спасибо за внимание! Подписывайтесь!
Читайте также: