Человека, доказавшего гипотезу Римана (за которую обещана награда в один миллион долларов США) безусловно, следует назвать «гением» (правда, при условии, что с его доказательством согласится всё мировое математическое сообщество). И вот что недавно поведал о себе анонимный читатель Дзена в комментарии к моей статье: «Я работаю на механико-математическом факультете МГУ, т.е. профессионал. … Что касается гипотезы Римана, я и это доказал, но доказательство занимает около 100 страниц и пока нет на это времени. …» Далее по тексту этого анонимного читателя буду именовать – «профи» (математик-профессионал).
Итак, утром 26.03.24 профи написал комментарии (впервые) к моей статье «Ряд обратных квадратов (история одного открытия)», опубликованной на Дзене ещё 01.12.23. Однако меня, инженера-механика, довольно быстро просто… разозлило, что цель его 4-х комментариев сводилась лишь к одному – объявить мне (с чувством глубокого удовлетворения): «вы дилетант», и больше в моей числофизике он (преподаватель математики?) абсолютно ничего не увидел полезного, интересного (подчеркиваю – для «широкой публики» Дзена). Поэтому я заблокировал самодовольного профи и удалил его комментарии, но скопировал их себе в Word, чтобы позже понять его (заумное для меня) аналитическое доказательство (см. прилож. 1), поскольку тогда я был плотно занят написанием двух больших статей о числах Ферма. Далее я повторю вкратце свои рассуждения (подробно см. здесь), правда, с добавлением новых идей-гипотез). Мои рассуждения помогут дотошному читателю лучше понять аналитическое доказательство профи (увы, сам я его так и не понял до конца).
Вот мои рассуждения (вкратце). В упомянутой выше статье «Ряд обратных квадратов…» речь шла об отношении M/F в Пирамиде делителей высотой N (см. рис. 1), с помощью которой удобно исследовать как бы «внутреннее устройство» начала натурального ряда на отрезке [1; N].
Параметр F – это количество всех камней (белых, серых, чёрных) в Пирамиде высотой N, и это количество мы находим путем суммирования всех камней в каждой строке Пирамиды: F = 1 + 2 + 3 + 4 + … + N = (1 + N)∙N/2 ≈ N^2/2. (1) Иначе говоря, F – это площадь плоской Пирамиды, выраженная в единицах площади одного камня (площади всех камней одинаковы). И здесь уместно напомнить, что энтропия (Э) Пирамиды делителей высотой N пропорциональна площади (F) этой Пирамиды (в единицах площади одного камня-клетки): Э = F∙ln2 ≈ 0,693∙N^2/2. (2). См. во «ВКонтакте» статью «Энтропию чёрных дыр и Вселенной «моделирует» … Пирамида делителей» (опубликована 29.12.23).
Параметр M – это масса всех чёрных камней в Пирамиде высотой N (сумма всех делителей у всех первых N натуральных чисел). Таким образом, искомое нами отношение M/F – это удельная чёрная масса Пирамиды, то есть чёрная масса, приходящаяся на каждый (любой) камень Пирамиды (на единицу энтропии). Как точно вычислить параметр М автор понял сразу, как только придумал саму Пирамиду делителей (ещё в 1998 году):
М = [N/1]∙1 + [N/2]∙2 + [N/3]∙3 + … [N/k]∙k + … + [N/N]∙N, (3)
где (внимание!) квадратные скобки […] – это функция антье, которая выделяет (оставляет) целую часть от вещественного числа в скобках (у нас это дробь); k = 1, 2, 3, 4, …, N – это порядковый номер столбца в Пирамиде высотой N, то есть k пробегает все потенциально возможные значения делителей (d) у первых N чисел. Поэтому [N/k] – это количество (целое число) делителей (d = k) в k-ом столбце Пирамиды высотой N, а Sk ≡ [N/k]∙k – это суммарная масса всех чёрных камней в k-ом столбце. Используя базовую формулу (3) мы можем вычислить отношение M/F. Так, ещё в конце 2002 г. автор установил (ПК вычислял ровно 3 часа), что при N = 10^9 мы получаем M/F = 1,644 934 065 548… (разница с реальным пределом отношением M/F – только в 9-ой цифре после запятой).
Очевидно, что если в точной формуле (3) отказаться от функции антье, то есть вместо [N/k]∙k записать (N/k)∙k = N, то получаем M = N^2, то есть при N → ∞ имеем: M/F → 2, что существенно больше реального предела отношения M/F = π^2/6 = 1,6449…. Таким образом, базовая формула (3) не позволяет нам получить формулу для вычисления реального параметра М у сколь угодно высокой Пирамиды (сколь угодно большого N, при котором время счета на ПК быстро устремляется к бесконечности).
Поэтому ещё раз посмотрим на Пирамиду (рис. 1) и обратим внимание на крайний справа луч чёрных камней (с предельно большой массой), идущих вниз под углом 45 градусов. Этот, будем говорить, первый луч имеет, очевидно, такую суммарную массу (G1, кстати, в точности равную площади F, см. формулу 1):
G1 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + N/1 = (1 + N/1)∙(N/1)/2. (5).
Под первым лучом ясно видно второй луч, имеющий меньшую суммарную массу (G2 < G1): G2 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + [N/2] = (1 + [N/2])∙[N/2]/2, где квадратные скобки […] – это по-прежнему функция антье, которая выделяет (оставляет) целую часть от вещественного числа. Под вторым лучом ещё видно третий луч, имеющий ещё меньшую суммарную массу (G3 < G2): G3 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + [N/3] = (1 + [N/3])∙[N/3]/2. Под третьим лучом всё ещё угадывается четвертый луч, а вот последующие лучи (внутри серого Ствола и в его окрестности) уже похожи на некий хаос чёрных камней, однако мы будем полагать, что и там скрываются все последующие лучи, каждый из которых имеет массу: Gk = 1 + 2 + 3 + 4 + … + [N/k] = (1 + [N/k])∙[N/k]/2. (7) При этом, как и для первого луча (см. 5), функция антье оказывается лишней для последнего луча: GN = (1 + N/N])∙(N/N)/2 = 1. Таким образом, теперь параметр М – это масса всех лучей (их насчитывается N штук): М = G1 + G2 + G3 + G4 + …+ GN, и эта масса, очевидно, равна М = 1/2∙Σ[N/k]^2 + 1/2∙Σ[N/k], (8), где суммирование ведется по всем k = 1, 2, 3, 4, …, N. Причем, выполняя данные вычисления на ПК, мы всякий раз получаем абсолютно точное значение параметра М, как и по формуле (3). В рамках числофизики это является «доказательством» того, что кажущийся хаос чёрных камней внутри Ствола (и в его окрестности) – это результат «наложения» (суперпозиции) множества чёрных лучей, рассмотренных нами выше. <И данный вывод интересен в рамках числофизики (возможно, и в рамках теоретической физики) для понимания «устройства» самых глубин микромира, описываемого квантовой механикой, законы которой выходят далеко за пределы воображения и понимания «широкой публики» (не посвященной в физику-математику). То есть Пирамида делителей «моделирует» как законы микрофизики, так и законы космофизики. Что мы видим и в теоретической физике – всё Мироздание описывается взаимосвязанными разделами математики (и, увы, архисложными), то есть вся бесконечная математика – это нечто единое, составляющее суть того, что мы называем именем «Творец».>
Именно формула (8) позволяет нам прийти к формуле для вычисления (на ПК) параметра М для сколь угодно высокой Пирамиды (для сколь угодно большого N). Для этого мы откажемся от функции антье в формуле (8), то есть запишем М ~ 1/2∙Σ(N/k)^2 + 1/2∙Σ(N/k), откуда, очевидно, получаем следующее выражение: М ~ N^2/2∙(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + … + 1/N^2 ) + N/2∙(1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/N). (9) Здесь в первых скобках стоит начало (частичная сумма) бесконечного ряда обратных квадратов, сумма которого (при N→ ∞) относительно быстро устремляется к числу π^2/6 = 1,6449…, а во вторых скобках стоит N-ое гармоническое число, которое быстро устремляется к такому значению: lnN + γ, где γ = 0,577 215 664 901 … – математическая константа (постоянная Эйлера-Маскерони). Поэтому далее нетрудно прийти (см. подробно во "ВКонтакте") к выводу, что наиболее точным оказывается самый лаконичный вариант наших формул: М ≈ (N^2/2)∙π^2/6, (13), причем данную формулу можно считать весьма точной для достаточно высокой Пирамиды делителей (высота которой N>> 1). И формула (13) сразу приводит нас к искомому результату (о чем говорилось выше): M/F → π^2/6 = 1,6449 … . (14)
А вот далее мы рассмотрим смысл обратного отношения. Обратное отношение F/M – это некая удельная плотность: количество всех камней Пирамиды (белых, серых, чёрных), которое приходится на единицу массы чёрных камней (то есть на минимальный делитель d = 1, который есть у каждого числа N). Учитывая формулу (2) для энтропии (Э) Пирамиды делителей, также можно сказать, что F/M – это удельная энтропия Пирамиды делителей. Очевидно, что по мере роста N отношение F/M устремляется к константе 6/π^2 = 0,6079…, то есть параметр F составляет около 60,79 % от параметра М.
При этом белые камни в Пирамиде (или серые камни в её Стволе) – это далеко не «пустое место» в нашей Пирамиде делителей. И автор уже давно исследовал массу (и количество) не только чёрных, но и белых (серых) камней Пирамиды (Ствола): в каждом столбце эта масса постоянная и равна номеру столбца (этот номер указан в крайнем правом ряде чёрных камней, уходящим вниз под 45 градусов). См. во «ВКонтакте» статью «Масса-энергия Вселенной («модель» тёмной материи-энергии)» (опубликована 06.02.2023), кстати, там же в гл. 6 показан вывод формулы для параметра М. <Согласно числофизике, белые (серые) и чёрные камни Пирамиды делителей (в том числе и отношение F/M) могут дать некий ключ к разгадке тайны тёмной энергии и/или тёмной материи. В обоснование данной гипотезы автора ниже приведены ключевые сведения из космологии (которые мысленно соотносите с «устройством» Пирамиды делителей, особенно в части отношения F/M, подробно рассмотренного выше).>
Тёмная энергия – это гипотетический (малопонятный, таинственный) вид энергии, введённый в математическую модель Вселенной для объяснения наблюдаемого её расширения с ускорением. Существует три варианта объяснения сущности тёмной энергии <её «моделируют» белые и серые камни Пирамиды?>:
1). Тёмная энергия есть космологическая константа – неизменная энергетическая плотность, равномерно заполняющая пространство Вселенной (другими словами, постулируется ненулевая энергия и давление вакуума);
2). Тёмная энергия есть некая квинтэссенция – динамическое поле, энергетическая плотность которого может меняться в пространстве и времени.
3). Тёмная энергия есть модифицированная гравитация на расстояниях порядка размера видимой части Вселенной.
Тёмная энергия – это 68,3 % всего состава наблюдаемой Вселенной <в Пирамиде делителей параметр F составляет около 60,79 % от параметра М> (а 26,8 % состава Вселенной – тёмная материя, 4,9 % – видимая нами материя: звезды, планеты, …).
Сущность тёмной энергии является предметом споров. Известно, что она очень равномерно распределена в пространстве <белые (серые) камни очень высокой Пирамиды делителей (см. рис.1), можно сказать, также весьма равномерно, однородно распределены в теле Пирамиды>, испытывает гравитационное отталкивание вместо гравитационного притяжения, имеет низкую плотность и не взаимодействует сколько-нибудь заметно с обычной материей посредством известных фундаментальных типов взаимодействия – за исключением гравитации. Плотность тёмной энергии не зависит от времени (за последние 8 млрд лет её плотность изменилась не более, чем на 10 %). <В Пирамиде делителей удельная плотность F/M быстро устремляется к постоянной величине 6/π^2 = 0,6079…> Тёмная энергия может оказывать такое глубокое влияние на Вселенную (составляя почти 70 % всей энергии) только потому, что она однородно наполняет пустое (в иных отношениях) пространство.
04.05.2024, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2024
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Вот что написал 26.03.24 на Дзене профи из МГУ (копия его главного комментария и мои <«оправдания»>):
«вы дилетант. Доказательство действительно простое. Никакие вычисления, что вы проделали не доказывают. <В статье «Ряд обратных квадратов…» я писал так: «можно легко объяснить появление формулы (M/F ~ π^2/6) с помощью Пирамиды делителей» (то есть, строго говоря, я и не утверждал, что якобы доказал эту формулу аналитически).>
Мне на доказательство вашего "открытия" <укажите кто и где до меня нашёл (открыл, до июля 2001), что M/F → 1,64…, и разве это тривиальная, малоинтересная «находка» в мире натуральных чисел?> потребовалось пару минут. Я не стал писать только из-за отсутствия возможности красиво отображать формулы. Попробую сейчас. Формулу для F(N) вы и сами знаете F(N)=N(N+1)/2. Вычислим M(N). число m<=N встречается как черный камень (по вашей терминологии) ровно в k=[N/m] строках, а именно в строках m,2m,3m,...,km. Все числа i<=[N/k] встречаются в сумме k раз, а числа меньше или равно [N/(k+1)] по крайней мере k+1 раз. Поэтому M(N)=\sum_k S(k), S(k)=\sum_i (i<=N/k)=[N/k]([N/k]+1)/2. Соответственно R=M(N)/F(N)=\sum_k T(k), T(k)=S(k)/F=[N/k]([N/k]+1)/ N(N+1). R=T(1)+T(2)+..., , T(1)=1, T(2)=[N/2]([N/2]+1)/N(N+1)=1/4+O(1/N), T(k)=1/k^2 +O(1/N). Суммируя по всем k<sqrt(N) и оценивая по другому при k>sqrt(N) получим M(N)/F(N)=pi^2/6+ O(1/sqrt(N)). Я могу оценить точнее, но это требует несколько страниц текста.»
