Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
На примерах решений задачи № 620 и № 621 из учебника по алгебре для 8-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского предлагаю вспомнить решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.
Условие задачи 620:
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.
Решение:
Пусть скорость второго автомобиля будет x км/ч. Тогда скорость первого автомобиля x + 10 км/ч. Второй автомобиль проехал расстояние между городами за 560 : x часов, а первый автомобиль – за 560 : (x + 10) часов. Зная, что первый автомобиль потратил на дорогу на 1 час меньше второго, составляем уравнение.
Общий знаменатель дробей x ( x + 10 ).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, соблюдая правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую:
Мы получили квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом, поэтому для решения уравнения удобнее воспользоваться формулой II.
5625 > 0, значит уравнение имеет два корня.
Кроме того, при x = 70 общий знаменатель не обращается в нуль, следовательно, скорость второго автомобиля 70 км/ч.
70 + 10 = 80 км/ч – скорость первого автомобиля.
Ответ: скорость первого автомобиля 80 км/ч, скорость второго автомобиля 70 км/ч.
Ответ легко проверить:
560 : 80 = 7 часов потратил на дорогу первый автомобиль.
560 : 70 = 8 часов потратил на дорогу второй автомобиль.
То есть мы видим, что при таких скоростях первый автомобиль закончит дистанцию в 560 км на 1 час раньше, чем второй.
Условие задачи 621:
Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?
Решение:
Решение этой задачи практически совпадает с решением задачи № 620. Только вместо 560 км в мы ставим 720, а под x км/час подразумеваем скорость поезда по расписанию. Тогда увеличенная скорость поезда равна x + 10 км/ч.
Зная, что с увеличением скорости на 10 км/ч поезд потратил на дорогу на 1 час меньше, составляем уравнение:
Ответ: скорость поезда по расписанию 80 км/ч.
Как видите, уравнение очень похоже на уравнение задачи 620. Оно отличается только числителями дробей левой части (720 вместо 560). Решение уравнения тоже идёт по аналогии с уравнением предыдущей задачи.
Ответ легко проверить:
720 : 80 = 9 часов едет поезд перегон в 720 км по расписанию.
Когда он увеличил скорость на 10 км/ч, то проехал этот же перегон за
720 : 90 = 8 часов, а это на 1 час меньше, чем по расписанию.