В статье “Тригонометрические функции от суммы аргументов” мы вывели формулы для синуса и косинуса от суммы и разности двух аргументов. Для удобства перепишем эти формулы снова перепишем здесь:
Сложим левые и правые части формул синуса от суммы и разности двух аргументов:
Или, подведя подобные члены в правой части, получим:
Откуда:
Вычитая из левой и правой части формулы косинуса суммы двух аргументов левую и правую части соответственно формулы косинуса разности двух аргументов и проведя аналогичные математические выкладки (предоставляю их сделать читателю самостоятельно), окончательно получим:
Сложим левую и правую части формулы синуса суммы и разности двух аргументов и, проведя аналогичные математические выкладки, которые также предоставляю сделать читателю, окончательно получим:
Чтобы написать следующую группу тригонометрических тождеств, найдем такие два числа x и y, чтоб их сумма дала угол α, а разность - угол β. Отсюда имеем следующую систему линейных уравнений:
В этой системе сложим правое уравнение с вторым и вычтем из первого уравнения второе. Тогда получим следующую систему:
Откуда:
В выведенных выше нами формул для произведений синуса и косинуса, двух синусов и двух косинусов двух разных углов подставим вместо α+β – α, а в место α-β – β, а вместо α и β – выражения, полученные нами для x и у соответственно, получим:
В заключении мы найдем выражения, которое нам понадобится в будущем.
Первое выражение:
Откуда получим:
В статье “Формулы синуса и косинуса кратных углов” доказано следующее утверждения:
Косинус угла nα, где n целое положительное число, можно свести определенному многочлену степени n от косинуса α
то есть
Подставляя последнее равенство в выведенное нами выражение для косинуса (n+1)α, получим:
Второе выражение:
В статье “Формулы синуса и косинуса кратных углов” доказано следующее утверждение:
Синус угла nα, где n целое положительное число, можно свести к произведению синуса угла α на определенный многочлен степени n-1 от косинуса угла α
то есть:
Подставляя последнее выражения в выведенное нами выражение для синуса для аргумента (n+1)α
Поделив на синус α, окончательно получим:
До новых встреч.