Канонический парадокс лжеца (рассмотренный в первой части нашего повествования) и парадокс взаимоисключающих оценок (рассмотренный во второй части) долгое время приводили и до сих пор часто приводят как примеры неустранимых противоречий, возникающих при самореференции и при взаимных ссылках. Мы пришли к пониманию, что в этих противоречиях участвуют ошибочные умозаключения.
В каноническом парадоксе лжеца утверждение «данное утверждение ложно» оказывается однозначно ложным, если его понимать в смысле «данное утверждение имеет обоснованную оценку «ложное»» и однозначно правдивым, если его понимать в смысле «данному утверждению приписано слово «ложное», не являющееся обоснованной логической оценкой».
В парадоксе взаимоисключающих оценок утверждение А, оценивающее утверждение Б как ложное, оказывается однозначно ложным, если подразумевать, что Б объявляется утверждением, имеющим обоснованную оценку «ложное». При этом Б, оценивающее А как утверждение, имеющее обоснованную оценку «правдивое», оказывается и не ложным, и не правдивым. Оно оказывается непонятным. Если же слова «ложное», «правдивое» считать пометками, не являющимися обоснованными логическими оценками, то А и Б оказываются правдивыми сообщениями об этих ни о чём не говорящих пометках.
Далее подразумеваются обоснованные логические оценки «правдивое», «ложное». Пусть В – некоторое утверждение. Оно имеет оценку «непонятное», если у него нет (в смысле нельзя вывести) ни обоснованной оценки «правдивое», ни обоснованной оценки «ложное». Важно понимать следующее. Пусть X – одна из трёх оценок: «правдивое», «ложное», «непонятное», а Y и Z дополняют X до тройки оценок. Рассмотрим утверждение Г: «неверно, что В имеет оценку X».
При переходе от оценки утверждения В к оценке утверждения Г содержащееся в Г отрицание «неверно, что» срабатывает однозначно. Если В имеет оценку X, то Г оказывается ложным. Если у В нет оценки X, то Г оказывается правдивым.
При переходе от оценки утверждения Г к оценке утверждения В содержащееся в Г отрицание «неверно, что» срабатывает, вообще говоря, неоднозначно. Если утверждение Г правдиво, то оно означает пару возможностей: «В имеет оценку Y» и «В имеет оценку Z». Утверждение Г не правдиво только тогда, когда В имеет оценку X. В этом случае не правдивость Г означает ложность Г.
Новое дыхание парадоксу лжеца дали 20-й век и начало 21-го века. В 1913 году британский логик Филип Журден (1879–1919) предложил публике парадокс с карточкой – разновидность парадокса взаимоисключающих оценок.
Парадокс Журдена (первый вариант)
В этом варианте парадокса Журдена имеется хронологическая коллизия. Одно из утверждений появилось (было произнесено, придумано) технологически раньше другого. Более позднее утверждение не могло получить обоснованную оценку в более раннем утверждении (до появления более позднего). Перед нами парадокс третьего рода, превращающийся после исключения рассуждений для публики в парадокс второго рода. Ошибки в рассуждениях зависят от домысливания.
Первое домысливание. Раньше появилось первое утверждение. Тогда оно эквивалентно утверждению «второму утверждению можно дать обоснованную логическую оценку до его появления и эта оценка - «правдивое»». Таким образом, первое утверждение ложно, а второе, объявляющее первое ложным, правдиво.
Второе домысливание. Раньше появилось второе утверждение. Тогда оно эквивалентно утверждению «первому утверждению можно дать обоснованную логическую оценку до его появления и эта оценка - «ложное»». Таким образом, второе утверждение ложно и первое, объявляющее второе правдивым, тоже ложно.
Парадокс Журдена (второй вариант)
Снова парадокс третьего рода. В рассуждениях для публики ключевая ошибка – подмена обоснованных логических оценок необоснованными. Когда мы даём утверждениям обоснованные логические оценки, наряду с правдивыми и ложными есть ещё непонятные утверждения. От того, что утверждение названо правдивым либо ложным, оно не становится правдивым либо ложным.
Чтобы первое утверждение оказалось ложным, надо, согласно принципу доказательности логических оценок, чтобы из его предварительной оценки «правдивое» выводилось отрицание какой-нибудь уже установленной правды. Этого нет. Из предварительной правдивости первого утверждения выводятся только предположительная правдивость второго утверждения и её следствие - отрицание предположительной правдивости первого утверждения. Но предположительная правда не является уже установленной правдой. Поэтому второе утверждение ложно.
Чтобы первое утверждение оказалось правдивым, его правдивость должна выводиться из каких-то уже установленных правд. Этого нет. Правда, заключающаяся в том, что второе утверждение ложно, означает только то, что первое утверждение не ложно, то есть либо правдиво, либо непонятно. Из каких-то дополнительных уже установленных правд правдивость первого утверждения не выводится. Таким образом, первое утверждение не правдивое и не ложное, оно непонятное. Ответы на вопросы парадокса: «нет» (первое утверждение не правдиво, будучи непонятным) и «нет» (второе утверждение не правдиво, будучи ложным).
В 1942 году американский логик Хаскелл Карри (1900–1982) предложил свой вариант парадокса лжеца, наиболее известный в следующей редакции.
Парадокс Карри
Парадокс третьего рода. Мы не видим напрямую, что длинное утверждение оценивает само себя с претензией на обоснованность оценки. Но возможность обоснованной оценки длинного утверждения в нём самом всё же подразумевается.
Первая эквивалентная форма длинного утверждения:
«Если данному длинному утверждению можно дать обоснованную логическую оценку в нём самом и эта оценка – «правдивое», то русалки существуют».
Вторая эквивалентная форма:
«Русалки существуют или данному длинному утверждению нельзя дать обоснованную логическую оценку в нём самом или можно и эта оценка – «ложное»».
Согласно принципу неопределённости настоящего и будущего, пока они не стали прошлым, длинному утверждению нельзя дать обоснованную логическую оценку в нём самом. Поэтому, опираясь на вторую эквивалентную форму исходного длинного утверждения, делаем вывод, что оно – правдивое утверждение.
Причём оно правдиво независимо от того, существуют русалки или нет. У нас нет оснований сделать вывод, что русалки существуют. Не хватает информации для подобных умозаключений. Ответ на вопрос парадокса: «нет» (неверно, что русалки существуют).
В 1993 году американский философ Стефан Ябло сформулировал свой вариант парадокса лжеца, в котором вместо самореференции и взаимоисключающих оценок, приводящих к кажущемуся неустранимому противоречию, используется счётная последовательность утверждений.
Парадокс Ябло
Парадокс третьего рода. Игра на тонкой двусмысленности. Первый смысл: {УN} объявляются ложными. Второй смысл: {УN} оказываются ложными. Объявление ложности не влечёт ложность. Для ложности УN необходимо, чтобы из предварительной оценки УN «правдивое» выводилось отрицание какой-нибудь уже установленной правды. Этой выводимости нет.
Утверждение вида «УM1 не ложное», где M1>N, не может оказаться правдой, установленной перед предположением, что УN правдиво. Чтобы установить, что УM1 не ложно, нужно отмести возможность, что УM1 ложно. УM1 ложно, если при некотором M2>M1 УM2 не ложно. УM1 не ложно, если при всех M2>M1 УM2 ложно. В частности, при M2=M1+1. Чтобы установить ложность УM2 (предположив правдивость УM2, прийти к противоречию), нужно ещё раньше установить, что УM3 не ложно при некотором M3>M2. Таким образом, чтобы установить, что УM1 не ложно, нужно перед этим установить, что УM3 не ложно при некотором M3>M1. И так далее без конца. Не на что опереться как на уже установленную правду (отрицание которой будет получено из предположения, что УN – правда).
Для правдивости УN необходимо, чтобы оценка «правдивое» этого утверждения выводилась из уже установленных правд. А именно, нужно установить ложность всех УM при M>N. В частности, при M=N+1. Чтобы установить ложность УM, нужно предположить его правдивость и получить противоречие, выявив не ложность некоторого УM1 при M1>M. Чтобы установить не ложность УM1, нужно, как мы показали выше, перед этим установить не ложность УM3 при некотором M3>M1. И так далее без конца. Не на что опереться как на уже установленную правду.
Таким образом, все {УN} являются непонятками подобно утверждению «величины x и y равны». Ответ на вопрос парадокса: «нет» (У1 не является правдивым утверждением, будучи непоняткой).
В 2001 году философ-логик Питер Элдридж-Смит и его 11-летняя дочь Вероника (Австралия) сотворили дуэтом самую изящную версию парадокса лжеца.
Парадокс Пиноккио
Парадокс первого рода. В рассуждениях для публики на этот раз ошибок нет. Требования к носу Пиноккио противоречивы и это неустранимое противоречие. После восклицания Пиноккио совместить выполнение этих требований (нос растёт тогда и нос растёт только тогда) невозможно. Таким образом, ответом на вопрос парадокса в двоичной логике не может быть ни «да», ни «нет».
Наш краткий обзор завершён. Много людей, известных и не известных, долгие заблуждения и поиски ясности составили историю парадокса лжеца. Эпименид, азартные софисты, Евбулид Милетский, средневековые мыслители, Филип Журден, Хаскелл Карри, Стефан Ябло, Вероника и Питер Элдридж-Смит. Точка в этой истории, которая длится уже 27 столетий, ещё не поставлена.