Принцип неопределённости настоящего и будущего, пока они не стали прошлым, опровергающий каноническую версию парадокса лжеца (обоснованную оценку утверждению нельзя дать в нём самом), не опровергает версию парадокса, которую в 4-м веке до н.э. обнаружил Евбулид Милетский.
Современники отзывались о нём как о философе-спорщике, достававшем всех «рогатыми вопросами». У него были шутки-софизмы, в том числе про рога (что ты не терял, у тебя есть, рога ты не терял - значит ты рогат). Но главным в его жизни было исследование понятийных противоречий (не им созданных).
Парадокс Евбулида «Лжец» (первая редакция)
В этой формулировке ещё нет чёткого пояснения, о каком промежутке времени, отведённом для вранья, идёт речь. Глагол «лжёт» вместо «лгал» и «буду лгать» – расплывчатое пояснение. При разных вариантах домысливания будут разные ответы. Перейдём сразу к формулировке с чётким пояснением.
Парадокс Евбулида «Лжец» (вторая редакция)
Так и хочется воскликнуть: вот он, свободный от ненужных подробностей и украшений парадокс первого рода в двоичной логике. Однако, перед нами парадокс третьего рода. В рассуждениях наблюдателя ошибка, осознать которую на этот раз труднее, чем в предыдущих примерах.
В описании исходной ситуации не сказано, как надо понимать слово «лгать», а также слова «говорить правду», «ложь», «правда». По умолчанию предполагается общеупотребительное понимание. Оно складывалось постепенно. Основы этого понимания (идеи доказательности утверждений) заложил Евклид Александрийский (3-й век до н.э.).
Существуют три постоянно растущих класса утверждений:
КПУ – класс правдивых утверждений,
КЛУ – класс ложных утверждений,
КНУ – класс непонятных утверждений.
Правда – утверждение из КПУ. Ложь – утверждение из КЛУ. Непонятка – утверждение из КНУ. Пример непонятки: «Величины x и y равны». Ни одно утверждение не может попасть сразу и в КПУ, и в КЛУ. Пока утверждение не попало ни в КПУ, ни в КЛУ, оно находится в КНУ. Некоторые так и остаются в КНУ по причине невозможности попасть ни в КПУ, ни в КЛУ (вечные непонятки). Всё тот же пример: «Величины x и y равны».
Чтобы утверждение попало в КПУ или КЛУ, ему надо дать обоснованную логическую оценку «правдивое» или «ложное», либо сослаться на рассуждения по какому-то проверенному шаблону, которые однозначно приведут к появлению соответствующей обоснованной оценки. Обоснованные оценки должны выводиться из чего-то общепринятого. Это называется принципом доказательности логических оценок или презумпцией логической неизвестности. Обоснованием не может быть прихоть дающего оценки.
Чтобы утверждение получило обоснованную оценку «правдивое», необходимо пройти следующую процедуру. Берутся какие-то утверждения, уже получившие обоснованные оценки «правдивые». Из того, что у них оценки «правдивые», с помощью надёжных проверенных практикой правил вывода выводится оценка «правдивое» оцениваемого утверждения. Полученная таким путём оценка считается обоснованной.
Например, из обоснованной правдивости утверждений «0<1», «1<2», «a<c при a<b<c» выводится обоснованная правдивость утверждения «0<2».
Чтобы утверждение получило обоснованную оценку «ложное», необходимо пройти следующую процедуру, именуемую рассуждениями от противного. Сначала утверждению даётся предварительная (предположительная) оценка «правдивое». Берутся какие-то вспомогательные утверждения, уже получившие обоснованные оценки «правдивые». А также какое-то контрольное утверждение, уже получившее обоснованную оценку «правдивое». Из того, что оцениваемое и вспомогательные утверждения имеют оценки «правдивые», с помощью надёжных проверенных практикой правил вывода выводится отрицание оценки «правдивое» контрольного утверждения. После чего оцениваемое утверждение получает обоснованную оценку «ложное».
Например, из предположительной правдивости утверждения «1<0» и обоснованной правдивости утверждений «0<1», «a<c при a<b<c», «a≠b при a<b» выводится отрицание обоснованной правдивости утверждения «1=1». После чего утверждения «1<0» получает обоснованную оценку «ложное».
В глубине всех правд и неправд лежат некие постулаты – утверждения, принимаемые здравомыслящими людьми без доказательства как имеющие обоснованные оценки «правдивые», а также надёжные правила вывода, которыми люди пользуются. Этим постулатам и этим правилам вывода доверяют благодаря успешной практике их использования.
Постулаты и правила вывода, используемые для установления правдивости и ложности утверждений, могут меняться от одной исторической эпохи к другой, а также при переходе от одной области совместной деятельности людей к другой. При этом некоторые утверждения могут становиться из ложных правдивыми и наоборот.
Первый пример. В конце 18 века французская академия наук постановила, что камни с неба не падают. Впоследствии существование метеоритов было признано.
Второй пример. В начале 19 века как альтернатива евклидовой геометрии была предложена и оказалась непротиворечивой геометрия Лобачевского, а в середине 19 века – геометрия Римана. Через точку вне заданной прямой на евклидовой плоскости проходит единственная прямая, параллельная заданной, на «плоскости» Лобачевского – более одной «прямой», на «плоскости» Римана – ни одной.
Таким образом, правдивость и ложность утверждений требует оговорки, о какой исторической эпохе и о какой области совместной деятельности людей идёт речь. По умолчанию речь идёт о нашем времени и о нашем земном доме. В нашем земном доме 1) метеориты существуют и 2) мы живём в евклидовом пространстве.
Хотя существуют три класса утверждений, в процедурах вывода логических оценок одних утверждений из оценок других утверждений участвуют только две оценки. То есть вывод ведётся в двоичной логике.
Говорить правду значит – предъявлять правду, то есть предъявлять утверждение, уже прошедшее или однозначно способное пройти процедуру присвоения ему обоснованной оценки «правдивое».
Лгать значит – предъявлять ложь, то есть предъявлять утверждение, уже прошедшее или однозначно способное пройти процедуру присвоения ему обоснованной оценки «ложное».
Стандартная форма отрицания правды: неверно такое-то утверждение, получившее обоснованную оценку «правдивое».
Вернёмся к разбору парадокса Евбулида «Лжец» в его второй редакции. Словa «я лгу» выражают собой претензию на самооценку говорящего – правдивую, если он высказывает ложь, и не правдивую, если он ложь не высказывает. Для того, чтобы признать самооценку правдивой, необходимо, чтобы внутри произносимой фразы наряду утверждением о факте лжи была сама эта ложь или ссылка на источник, в котором эта ложь предъявляется. Предъявление лжи возможно в разных формах. Примеры:
Вместо лжи «дважды два равно трём» можно вставить любую другую ложь.
Если говорящий действительно лжёт (предъявляет ложь при понимании лжи в соответствии с принципом доказательности логических оценок), то появляется тонкая двусмысленность следующего типа.
В длинном утверждении содержатся
1) короткое утверждение или ссылка на него (в нашем случае короткое утверждение является ложью),
2) логическое суждение, элементом которого служит короткое утверждение (в нашем случае это суждение о ложности короткого утверждения), составляющее содержание длинного утверждения.
Из того, что оценка короткого утверждения правдива, не следует, что короткое утверждение правдиво. Из того, что короткое утверждение ложно, не следует, что его оценка ложна.
Как только мы перестаём играть на двусмысленности, перестаём подменять оценку короткого утверждения оценкой длинного утверждения и наоборот, всё встаёт на свои места.
Произносящий длинное утверждение о своей лжи говорит правду, если он предъявляет короткое (внутри длинного) утверждение, являющееся ложью, или ссылку на него.
Если же, заявляя о своей лжи, заявитель не предъявляет ни саму ложь, ни ссылку на неё, либо оценивает как ложь правду либо непонятный набор слов, вставленный в длинное утверждение либо доступный по ссылке, вставленной в длинное утверждение, то в этом случае длинное утверждение оказывается ложным. Оно явно не соответствует схеме правдивой оценки короткого ложного утверждения, предъявляемого внутри длинного правдивого.
Во второй редакции парадокса Евбулида «Лжец» говорящий не предъявляет короткое утверждение, являющееся ложью, которое он оценивает как ложь, – и потому его утверждение о собственной лжи следует признать ложным. Он оговорил себя. Ответ на вопрос парадокса: «да» (заявитель в итоге солгал).
Разбирая этот парадокс, мы пришли к пониманию слов «лгать», «говорить правду», «ложь», «правда» в соответствии с принципом доказательности логических оценок. В дальнейшем мы будем трактовать заявления вида «это утверждение ложно», «это утверждение правдиво» в смысле «оно имеет обоснованную оценку ложное» и «оно имеет обоснованную оценку правдивое». Говоря о том, что утверждение непонятно, будем подразумевать, что оно навсегда в классе непонятных утверждений. Если оно там не навсегда, то оно либо правдиво, либо ложно.
Варианты с безосновательными оценками больше рассматривать не будем. Безосновательные оценки ни о чём не говорят. Названный слоном не обязан быть слоном при том, что факт названия оказывается правдой.
С лёгкой руки Евбулида Милетского неумышленная (от недопонимания) или умышленная (для потехи) игра на тонкой двусмысленности (когда оценка утверждения подменяется оценкой оценки и наоборот) стали излюбленным приёмом составителей разнообразных вариантов парадокса лжеца. Вот пример, когда признание лжеца о своей лжи переносится из настоящего в будущее.
Парадокс предсказанной лжецом собственной лжи
Снова парадокс третьего рода. В изречении заявителя два разных смысла: 1) в концовке «окажется ложным утверждением» предсказывается ложь и 2) перед концовкой предъявляется последовательность слов, претендующая быть ложным утверждением. В предлагаемых публике рассуждениях – игра на этой тонкой двусмысленности, подмена одного смысла другим смыслом.
Если бы заявитель сказал: «Произносимое мной в эти мгновения заявление о том, что квадратный корень из двух – рациональное число, окажется ложным утверждением!», то мы признали бы предсказание сбывшимся, а короткое утверждение (о рациональности корня из двух) внутри длинного утверждения оценили бы как ложное утверждение.
Однако, обещанная ложь (утверждение, из предположительной правдивости которого можно вывести отрицание какой-нибудь уже установленной правды) перед концовкой не предъявлена. Поэтому, исходя из принципа доказательности логических оценок, следует признать, что часть изречения заявителя, предшествовавшая концовке, не оказалось ложным утверждением, а предсказание, что она окажется ложным утверждением, не сбылось (оказалось ложным предсказанием). Нет противоречия. Нет основания ходить по кругу.
В средние века была популярна следующая версия парадокса лжеца. Вымышленная пикировка Платона с Сократом. «Следующее утверждение Сократа будет ложным!» - заявляет Платон. «Утверждение Платона истинно!» - восклицает Сократ. Поди разберись, солгал Сократ или нет. Имена в этой истории иногда переставляют. Не будем тревожить великих и рассмотрим суть дела.
Парадокс взаимоисключающих оценок
Парадокс третьего рода. Игра на тонкой двусмысленности. Первый смысл: Б оценивается как ложь. Второй смысл: Б оказывается ложью. Для того, чтобы Б оказалось ложью, недостаточно оценить его как ложь. Согласно принципу доказательности логических оценок нужно, чтобы из предварительной оценки Б «правдивое» выводилось отрицание какой-нибудь уже установленной правды. Для этого должно быть преподнесено как правда короткое утверждение, имеющее обоснованную оценку «ложное», – то ли в утверждении Б, то ли в утверждении А, правдивость которого объявляет Б, то ли и там, и там. Но такого преподнесения нет. Поэтому А (дающее оценку Б - ложь) ложно.
Утверждение Б не ложно, но вместе с тем и не правдиво. Правдивость Б не выводится из уже установленных правд, даже из той правды, что А ложно. Ложность А (ложность оценки Б - ложь) означает только то, что Б либо правдиво, либо непонятно. Поскольку правдивость Б из правдивости какого-то дополнительного утверждения не выводится, Б относится к классу непонятных утверждений. Ответ на вопрос парадокса: «нет» (утверждение Б не правдиво).
Мы рассмотрели ещё три версии парадокса лжеца. Размышления над ними (освобождение от связанных с ними ошибочных умозаключений) привели людей к осознанию второго важного принципа совместной жизни. Обоснованные логические оценки утверждений «правдивые», «ложные» должны выводиться из уже установленных правд. Это называется принципом доказательности логических оценок или презумпцией логической неизвестности.
Перейдём к версиям парадокса лжеца, более близким к нашему времени.