Речь пойдёт о логических парадоксах разных времён. Мы попробуем вдуматься в каждый из них. Быть может, обретём новое понимание каких-то сторон жизни. Ведь что такое логический парадокс? Это противоречие нашему опыту, здравому смыслу, выведенное путём успешно работающих во многих случаях умозаключений из описания какой-то жизненной ситуации и формулировки итогового вопроса. Это экстремальная логическая ситуация, побуждающая нас глубже и внимательнее думать.
Изложение логического парадокса в общем случае включает в себя:
1) описание исходной жизненной ситуации;
2) формулировку итогового вопроса «верно ли, что…?», где на месте многоточия – некое утверждение, связанное с исходной ситуацией;
3) выбор логики промежуточных умозаключений (по умолчанию это двоичная логика, в которой ответом на вопрос «верно ли то-то?» может быть только «да» или «нет», третьего не дано);
4) выбор логики итогового умозаключения (по умолчанию это двоичная логика);
5) концовку – одну из следующих:
(а) – правильные цепочки умозаключений, выводящие из описания исходной ситуации и формулировки итогового вопроса разные ответы на него,
(б) – одну из таких цепочек (другую или другие находит читатель),
(в) – набор цепочек, в котором есть хотя бы одна неправильная, которая кажется правильной на первый взгляд,
(г) – умолчание (читатель сам находит правильные цепочки, приводящие к разным ответам).
Если есть противоречие в описании исходной ситуации или в формулировке итогового вопроса или между описанием и формулировкой, что приводит к отсутствию однозначного ответа, то такой логический парадокс отнесём к парадоксам первого рода.
Примеры.
Мини-парадокс № 1, первая версия. На столе лежит обычная монета. Сверху не орёл. Сверху не решка. Верно ли, что снизу решка?
Рассуждения. Ответ «да» выводится из того, что сверху не решка, но исключается потому, что сверху не орёл. Ответ «нет» выводится из того, что сверху не орёл, но исключается потому, что сверху не решка.
Комментарий. В данном примере все противоречия сосредоточены в описании ситуации. Заменив слово «лежит» словами «находится в неподвижности», мы устраняем парадокс, допуская, что монета стоит на ребре. При этом мы остаёмся в двоичной логике умозаключений. Слова «сверху не орёл» охватывают теперь две возможности: «сверху часть ободка» и «сверху решка». Слова «сверху не решка» охватывают две возможности: «сверху часть ободка» и «сверху орёл». Описание исходной ситуации непротиворечиво: сверху часть ободка. Но тогда и снизу часть ободка. В этом случае правильный ответ: «нет» (неверно, что снизу решка).
Мини-парадокс № 1, вторая версия. На столе лежит обычная монета. Сверху не орёл. Верно ли, что подошедший к столу Вася, не сомневающийся без серьёзных оснований в обычности монеты, не увидевший решку сверху, решит, что она снизу?
Рассуждения. Из обычности монеты и того, что Вася не увидел решку, выводим, что решка снизу и что Вася так и решит. Из того, что сверху не орёл и в то же время сверху не решка, выводим, что Вася не решит, что внизу решка. Он усомнится в обычности монеты.
Комментарий. В данном примере имеем противоречие между описанием ситуации и формулировкой вопроса.
Мини-парадокс № 1, третья версия. В музее на столе под стеклом монета. Заходят два профессора. Об увиденном они потом рассказывают третьему профессору. Верно ли, что на основании слов первого профессора «сверху не орёл» и слов второго профессора «сверху не решка» третий профессор, знающий, что это обычная монета и что она лежит на столе, и не допускающий, что его разыгрывают, решит, что снизу решка?
Рассуждения. Опираясь на слова первого профессора «сверху не орёл» заключаем, что третий не решит, что снизу решка. Опираясь на слова второго профессора «сверху не решка», заключаем, что третий решит, что снизу решка.
Комментарий. В данном примере все противоречия сосредоточены в формулировке вопроса.
Если нет противоречий ни в формулировке итогового вопроса, ни в описании ситуации, ни между формулировкой и описанием, но не хватает информации для умозаключений и возможны разные домысливания, приводящие к разным ответам при правильных умозаключениях, то такой логический парадокс отнесём к парадоксам второго рода.
Пример.
Мини-парадокс № 2. На непрозрачном столе находится в неподвижности обычная монета. Верно ли, что одна из её сторон не видна?
Рассуждения. Если монета лежит, то верно. Если она стоит на ребре, то неверно. Для ответа в двоичной логике нужна дополнительная информация.
Комментарий. Парадокс исчезает, если ответ допускается в троичной логике с возможностями «безусловно да», «безусловно нет» и «при выполнении некоторого условия да, иначе нет». Выполнение условия подразумевается в двоичной логике.
Логические парадоксы, не отнесённые ни к первому, ни ко второму роду, при изложении которых приводятся неправильные умозаключения, кажущиеся не первый взгляд правильными, отнесём к парадоксам третьего рода. В этих парадоксах не обязательна альтернативность ответов.
Пример.
Мини-парадокс № 3. На столе лежат обычные одинаковые монеты. Подходит Маша и видит две решки и одного орла. Одну из монет она переворачивает. Затем подходит Ира. Видит она хорошо. Верно ли, что она обязательно увидит хотя бы одну решку? Читателю предлагается ответ «да» и следующая цепочка умозаключений. После переворачивания монеты, лежащей орлом вверх, число видимых решек увеличивается на одну. После переворачивания монеты, лежащей решкой вверх, число видимых решек уменьшается на одну. В любом случае будет видна хотя бы одна решка.
Приведённые умозаключения в пользу ответа «да» на первый взгляд правильны, но они ошибочны из-за неучтённых возможностей. Дело в том, что слова «она переворачивает монету» подразумевают «она приподнимает монету, меняет в воздухе её ориентацию и затем опускает». Но куда опускает? Не факт, что на то же самое место, где была монета. Опустить можно и на другую монету. Это не противоречит описанию ситуации. И есть вариант, когда лежавшая первоначально решкой вверх монета ложится орлом вверх на монету, которая лежит на столе решкой вверх. В этом варианте будут видимы только два орла и ни одной решки. Поэтому правильный ответ на итоговый вопрос: «нет».
Многие известные парадоксы существуют в нескольких версиях. К какому роду относится парадокс, зависит от его версии и выбираемых логик умозаключений. При переходе к более сложным логикам парадокс может исчезать. Решить парадокс, прояснить парадокс, разгадать парадокс означает найти, в чём исходное противоречие, недосказанность или ошибка при тех или иных логиках умозаключений.
Парадокс считается устранимым, если при некотором домысливании исходной ситуации и/или формулировки итогового вопроса парадокс исчезает (появляется единственный правильный ответ).
Если не менять логику промежуточных умозаключений и логику ответа на итоговый вопрос, то
а) все парадоксы первого рода неустранимы,
б) все парадоксы второго рода устранимы,
в) среди парадоксов третьего рода есть как устранимые, так и неустранимые.
продолжение следует