Рассмотрим семейство логических ситуаций под вывеской «парадокс лжеца». В классических вариантах этого парадокса лжец в той или иной форме утверждает о себе, что он лжец. Он правду говорит или лжёт? Если говорит правду, то какой же он лжец. Если говорит неправду, то получается, что он не лжец.
Тему этого парадокса подарил миру мудрец и поэт Эпименид, живший на острове Крит в 7 веке до н.э.
Загадка Эпименида
Некий критянин заявил, что все критяне лжецы (в смысле: всё время лгут). Сказал ли он правду?
Это пока ещё не парадокс. Это не парадокс первого или второго рода, ибо исходная ситуация соответствует единственному ответу «нет». Это не парадокс третьего рода, ибо кажущиеся правильными ошибочные рассуждения к описанию исходной ситуации не прилагаются.
Ответ «да» не годится. Если «да», то заявитель, будучи критянином, является лжецом и сказал неправду, что противоречит «да». Но ответ «нет» вполне себе годится, когда среди критян есть не лжецы, а заявитель – лжец. Все критяне не могут быть лжецами (в смысле: всё время лгать), ибо в этом случае заявление не прозвучало бы. Кто всё время лжёт, не может сказать правду.
Загадка Эпименида становится парадоксом в следующей редакции.
Парадокс Эпименида (одна из версий)
Складывается впечатление, что перед нами неустранимое противоречие, парадокс первого рода в двоичной логике. Но это обманчивое впечатление. Парадокс Эпименида в различных версиях, подобных приведённой, считался неразрешимым три столетия. Однако, в 4-м веке до н.э. к обсуждению различных версий этого парадокса подключился Аристотель. Величайший философ и учёный Древней Греции.
Он подсказал, что отрицанием того, что человек всегда лжёт, служит не только возможность, что он говорит всегда правду, но и возможность, что он лжёт и говорит правду попеременно.
Лжецом называют человека, лгущего часто, но не обязательно всегда. Того, кто лжёт всегда, следует назвать особой разновидностью лжеца – абсолютным лжецом. Если лжец не является абсолютным лжецом, то его можно назвать непостоянным лжецом.
Аналогично правдивцем называют человека, который часто говорит правду, но не обязательно всегда. Того, кто всегда говорит правду, следует назвать абсолютным правдивцем. Если правдивец не является абсолютным правдивцем, то его можно назвать непостоянным правдивцем.
Кроме лжецов и правдивцев есть люди, которые довольно часто говорят правду и довольно часто лгут. Их называют по-разному. Например, их можно назвать хитрецами.
Возражения Аристотеля против путаницы в различных версиях парадокса Эпименида позволили разобраться с ними как с задачами, имеющими единственный ответ.
В частности, приведённая версия парадокса Эпименида решается следующим образом. Перед нами парадокс третьего рода. В рассуждениях для публики ошибки: не допускается, что не лжец может соврать (то есть не лжец считается абсолютным правдивцем), а лжец может сказать правду (то есть лжец считается абсолютным лжецом). Хотя существуют непостоянные лжецы, непостоянные правдивцы и хитрецы.
После исключения из парадокса ошибочных рассуждений, запутывающих публику, остается неопределённость, как же всё-таки понимать слово «лжец». То ли это абсолютный лжец, то ли непостоянный лжец. Какой бы из двух вариантов мы ни выбрали, ответом на вопрос парадокса будет «да».
Если под лжецом понимается непостоянный лжец, то ответ «да» (хотя бы один критянин может не быть им) следует из возможности расклада, при котором нет ни одного абсолютного правдивца и есть хотя бы один критянин, не являющийся непостоянным лжецом. Каждый заявляющий, что все критяне непостоянные лжецы, врёт. Если он абсолютный лжец, то лгать ему предписано. Если он хитрец или непостоянный правдивец или непостоянный лжец, то лгать ему не обязательно, но разрешено.
Если под лжецом понимается абсолютный лжец, то рассуждаем так. Если хотя бы один заявитель, причисливший себя и других к абсолютным лжецам, является абсолютным лжецом, то он соврал – и есть хотя бы один, не являющийся абсолютным лжецом. Он тоже заявитель и он соврал, причислив себя к абсолютным лжецам, ибо когда-то ранее он лично сказал какую-то правду, будучи непостоянным лжецом или непостоянным правдивцем или хитрецом. Если все заявители не являются абсолютными лжецами, то хотя бы одного из них можно предъявить в качестве такового. Абсолютных правдивцев среди заявителей быть не может.
Если на острове только один житель, то его заявление «все жители – абсолютные лжецы» превращается в заявление «я – абсолютный лжец». Делающий такое заявление не может быть причислен к абсолютным лжецам (ибо в этом случае получается, что он сказал правду). Ответ на вопрос парадокса снова «да».
Приверженцы парадокса лжеца придумали гору усложнённых вариантов. Прежде всего им захотелось обойти возражения Аристотеля. Это можно сделать, например, так.
Парадокс документируемого лжеца
Снова возникает впечатление, что перед нами неустранимое противоречие, парадокс первого рода в двоичной логике. Но перед нами снова парадокс третьего рода. В рассуждениях приезжего ошибка. Утвердительное высказывание «начиная с первого дня прошлого года каждое моё утверждение ложно» не более чем констатирует прошлое. До завершения изречения невозможно дать обоснованную оценку изрекаемому утверждению. И тем более дать обоснованную оценку утверждениям, которые будут изречены позже.
Допустим, человек произносит фразу, начинающуюся словами «ноль равен единице». Можем ли мы до завершения фразы обоснованно оценить изрекаемое утверждение как ложь? Обоснованная оценка зависит от концовки фразы, которую мы ещё не знаем.
Пример концовки, когда получается «ложь».
Примеры концовок, когда получается «правда».
В настоящем и будущем любой волен изменить своим привычкам и замыслам. Настоящее и будущее остаются неопределёнными, пока они не стали прошлым. После исключения ошибочных рассуждений приезжего, допустившего, что настоящее состоялось до того, как оно стало прошлым (изрекаемое лжецом попало в число оцениваемых им утверждений перед изречением оценочного слова), история с документируемым лжецом становится парадоксом второго рода с ответом «да» или «нет» в зависимости от домысливания.
Первое домысливание. Лжец имел в виду только свои подвиги до признания приезжему. По документам, хвастаясь о прошлых подвигах, он сказал правду. Ответ: «да».
Второе домысливание. Лжец имел в виду и прошлые высказывания, и заявление приезжему. Объявил, что каждое из этих утверждений имеет обоснованную логическую оценку «ложное». Но заявление не могло получить обоснованную оценку до его завершения. Заявитель солгал. Ответ: «нет».
Третье домысливание. Лжец имел в виду и прошлые высказывания, и заявление приезжему. Объявил, что каждому из этих утверждений он приписал слово «ложное», не являющееся обоснованной логической оценкой. Такая приписка ни о чём не говорит, ничему не противоречит. Заявитель не соврал о том, что пометил каждое утверждение указанным словом. Ответ: «да».
Согласно принципу неопределённости настоящего и будущего, пока они не стали прошлым, нельзя обоснованно оценить изрекаемое утверждение в нём самом. Можно только после в другом изрекаемом утверждении. Встраивание оценки утверждения в само утверждение с претензией на обоснованность этой оценки всегда – замаскированная ложь, состоящая в совмещении несовместимого: «изречение уже закончилось» совмещается с «изречение ещё не закончилось». На этой замаскированной лжи (осознавая её или не осознавая) приверженцы парадокса лжеца попытались построить неразрешимую версию парадокса.
Авторство этих попыток часто приписывают современнику Аристотеля Евбулиду Милетскому. Однако, его версия парадокса лжеца (которую мы рассмотрим позже) отличается от канонической версии, родившейся скорее всего в кругу азартных софистов, любителей запутывать публику.
Канонический парадокс лжеца
Перед нами парадокс третьего рода. В рассуждениях для публики ошибки, разные при разных домысливаниях. После исключения этих рассуждений получается парадокс второго рода с ответом, зависящим от домысливания.
Первое домысливание. Подразумевается утверждение «Данному утверждению приписано слово «ложное», не являющееся обоснованной логической оценкой данного утверждения». В этом случае утверждение правдиво и из слова «ложное» ничего не следует. Названный слоном не обязан быть слоном.
Второе домысливание. Подразумевается утверждение «Данное утверждение имеет обоснованную логическую оценку «ложное»». В этом случае в рассуждениях для публики обнаруживаются следующие ошибки.
Первая ошибка: утверждение без вытаскивания на свет содержащегося в нём умолчания бессодержательно, в нём нет конкретики, которую можно сопоставить с какими-то конкретными правдами, чтобы дать обоснованную оценку утверждению.
Вторая ошибка: не учтён принцип неопределённости настоящего и будущего, пока они не стали прошлым. Рассмотрим процесс озвучивания утверждения «Данное утверждение ложно!». В момент, когда начинает звучать оценочное слово «ложно» с претензией на обоснованную логическую оценку, исходное утверждение считается уже произнесённым, то есть превращается в пару утверждений, соединённых союзом «и»:
Каждое из этих двух утверждений – ложь. Слово «ложно» отсутствует в усечённом утверждении. Даже если допустить, что глубокомысленное заявление «Данное утверждение» относится к классу утверждений, оно не правдивое и не ложное, оно непонятное, подобно восклицаниям «Ой!» и «Ай!». Ему нельзя дать обоснованную оценку «ложное».
Исходное утверждение имеет ту же обоснованную логическую оценку, что и утверждение «У1 и У2», в котором есть конкретика (совпадение усечённого утверждения с исходным – конкретная ложь) и которому даётся итоговая оценка «ложное». Поэтому исходное утверждение «Данное утверждение ложно!» при втором домысливании оказывается ложным.
Мы рассмотрели три истории о лжецах, признающихся в своей лжи. Подобные истории изрядно помучили публику правдоподобными, но ошибочными умозаключениями. Через напряжение в умах подобные истории подвигли людей на более чёткие определения общеупотребительных понятий и на осознание важных принципов совместной жизни. Один из этих принципов – неопределённость настоящего и будущего, пока они не стали прошлым. Основа этого принципа – свобода выбора для всех участников событий. Другой принцип рассмотрим во второй части нашего повествования.