ПРИМЕР 1.
Вспомним признак делимости на 3: «Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3».
Это истинное высказывание. Построим обратное утверждение:
«Если натуральное число делится на 3, то сумма его цифр так же делится на 3».
И оно тоже истинно.
Если исходное утверждение записать в виде А → В , то обратное ему утверждение имеет вид В → А.
Такие утверждения называют взаимно обратными.
ПРИМЕР 2.
Утверждение «Если натуральное число делится на 9, то оно делится на 3» является истинным высказыванием.
Но обратное утверждение «Если натуральное число делится на 3, то оно делится на 9» - ложно.
«Если утверждение А → В истинно, то обратное В → А не обязательно истинно».
Если два взаимно обратных утверждения истинны или ложны одновременно, то они равносильны.
ПРИМЕР 3.
Два утверждения:
«Если треугольник равнобедренный, то два угла этого треугольника равны»
«Если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный».
Равносильные утверждения — это утверждения, которые являются одновременно истинными или одновременно ложными.
Необходимы и достаточные условия, признаки и свойства.
Посмотрим на условное утверждение «Если А, то В».
Оно говорит, что если посылка А истинна, то этого достаточно, чтобы следствие В также оказалось истинным.
Поэтому утверждение А часто называют достаточным условием для В.
Значит, если В ложно, то А не может быть истинным. Можно сказать ,что «без В не будет А».
Поэтому В называют необходимым условием для А.
ПРИМЕР 4.
«Если накрест лежащие углы при двух данных прямых и секущей равны, то данные прямые параллельны».
Достаточное условие: «накрест лежащие углы равны»
Необходимое условие: «прямые параллельны»
Очень часто математические теоремы формулируют как признаки или свойства.
ПРИМЕР 5.
Утверждение: «Если идёт дождь, то асфальт на улице мокрый».
Это утверждение можно рассматривать по-разному.
1.Как признак мокрого асфальта.
2.Как свойство идущего дождя.
Верно ли обратное утверждение?
ПРИМЕР 6.
«Если человек прошёл пешком 20 км, то он сильно устал».
Это свойство долгой ходьбы и одновременно признак усталости.
Верно ли обратное утверждение?
Любой признак при желании можно рассмотреть как свойство или наоборот. Легко запутаться. Поэтому некоторые утверждения по традиции привыкли называть только признаками, а другие- свойствами.
Рассуждения и умозаключения часто встречаются в жизни. Обычно мы не стараемся формулировать утверждения точно и не следим, где признак, а где свойство, какие наши мысли и слова являются достаточными условиями, а какие необходимыми. Мы это делаем интуитивно. Иногда ошибаемся, а иногда шутим, намеренно нарушая правила логики.
Занимаясь математикой, важно следить за тем, чтобы рассуждения были безупречными. Приходится тщательно формулировать истинные высказывания в виде аксиом и теорем, признаков и свойств. При этом нужно понимать, как правильно сформулировать признак, как устроено свойство, где достаточные и где необходимые условия.
Упражнение
Рассмотрим утверждения:
A: «Натуральное число N делится на 3»,
B: «Натуральное число N делится на 9»,
C: «Сумма цифр натурального числа N делится на 3»,
D: «Сумма цифр натурального числа N делится на 9».
Запишите символически с помощью букв и стрелок следующее утверждение и обратное к нему:
а) «Если сумма цифр натурального числа N делится на 9, то это число делится на 3».
б) «Если натуральное число N делится на 9, то сумма цифр этого числа делится на 3».
Какие из этих утверждений являются истинными высказываниями?