Согласно СНиП (строительные нормы и правила) в зданиях, где больше пяти этажей, должен быть лифт.
Это правило можно сформулировать в виде утверждения: «Если в здании больше, чем 5 этажей, то в этом здании должен быть лифт».
Это сложное утверждение, составленное из двух с помощью слов если и то.
Первое утверждение «В здании больше, чем 5 этажей», второе — «В этом здании должен быть лифт».
Утверждения, составленные с помощью логической конструкции если …, то ..., называют условными утверждениями.
Первое утверждение называется условием или посылкой, а второе — следствием.
Из курса геометрии вы знаете аксиому (Аксиома -высказывание, которое принимается как истинное. Аксиомы — это фундамент математических рассуждений, начальные истинные высказывания) параллельных:
«Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной».
Эту аксиому принимают за истинное высказывание, и можно её сформулировать в виде условного утверждения:
«Если точка не лежит на данной прямой, то через эту точку можно провести единственную прямую, параллельную данной».
Посылкой является утверждение «Точка не лежит на данной прямой», а следствием — утверждение «Через эту точку можно провести единственную прямую, параллельную данной».
Многие математические утверждения — условные. Если такое утверждение удаётся доказать, то получается истинное высказывание. Наиболее важные и общие истинные условные высказывания называются теоремами.
Слова «если» и «то» можно заменить стрелкой.
Например, условное утверждение
«Из утверждения А следует утверждение В», то есть «Если А, то В», можно кратко записать с помощью стрелки: А → В.
Утверждение А →В ложно, только если посылка А истинна, а следствие В ложно.
Во всех остальных случаях утверждение А → В истинно.
Можно сформулировать правило.
Правило. Условное утверждение истинно, если следствие истинно или если посылка ложна.
Иными словами, условное утверждение А →В будет ложным, только при попытке получить ложь из истины. Во всех прочих случаях утверждение А →В истинно.
Истинно даже утверждение вида «ложь истина».
Это может показаться странным, но это так: из ложного утверждения можно вывести любое следствие — и истинное, и ложное.
Иногда коротко говорят: «Из лжи следует что угодно».
Точно так же: «Истина следует откуда угодно».
Чтобы понять, истинно или ложно условное утверждение, надо узнать, истинны или ложны его составные части — посылка и следствие.
Является истинным или ложным утверждение:
а) «Если 2 ∙ 2 = 4, то число 7 — составное»;
б) «Если 2 ∙ 2 = 5, то число 7 — составное»;
в) «Если 2 ∙ 2 = 4, то число 7 — простое»?
Эти утверждения могут показаться странными, но это не мешает определить их истинность.
Утверждение а) ложно, так как в нём из истины следует ложь.
Утверждение б) бессмысленно, но истинно, поскольку в нём ложная посылка, и из неё можно вывести любое утверждение и даже заведомую чепуху.
Утверждение в) истинно, хотя бы потому, что число 7 действительно простое. Посылка здесь тоже истинна, это приятно, но уже не играет роли. Достаточно того, что следствие — истинное высказывание.