Квадрат разности двух выражений. Разложение на множители разности кубов. Разложение многочлена на множители способом группировки
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вспомнить формулу квадрата разности двух выражений, формулу разности кубов и разложение многочлена на множители способом группировки.
Сократите дробь:
Решение:
В седьмом классе школьники учили наизусть таблицу квадратов и кубов от 1 до 10 и знают, что число 8 – это 2 в кубе, а 27 – это 3 в кубе.
Числитель можно представить в виде разности кубов, а затем разложить эту разность кубов на множители, используя формулу разности кубов, которую школьники тоже проходили в седьмом классе.
Кроме того, в седьмом классе школьники проходили также формулу квадрата разности.
Поскольку число 4 – это 2 в квадрате, а 9 – 3 в квадрате, знаменатель можно представить в виде квадрата двучлена 3 – 2a.
Теперь запишем дробь с учётом преобразований в числителе и знаменателе:
В первом множителе знаменателя вынесем за скобки –1, получаем
C пятого класса школьники знают, что от перемены мест уменьшаемого и вычитаемого разность меняется на противоположное значение. Например, если от пяти отнять два, то получим три, а если от двух отнять пять, то получим минус три.
5 – 2 = 3;
2 – 5 = –3.
А поскольку квадраты противоположных чисел равны, то не имеет значения, преобразуем ли мы знаменатель в ( 3 – 2a ) ( 3 – 2a ), или в ( 2a – 3 ) ( 2a – 3 ).
Но если выбрать второй вариант, то решение будет короче, так как не придётся в знаменателе сперва выносить –1 за первые скобки, а после сокращения раскрывать вторые скобки, умножая их на –1.
В числителе сгруппируем первый член многочлена со вторым и третий с четвёртым. В первой группе вынесем за скобки множитель x, а во второй – множитель 4, получаем:
ax – 2x – 4a + 8 = x ( a – 2 ) – 4 ( a – 2 ).
Каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель a – 2. Вынесем этот общий множитель за скобки:
( x – 4 ) ( a – 2 ).
В знаменателе тоже сгруппируем первый член многочлена со вторым и третий с четвёртым. В первой группе вынесем за скобки множитель 3, а во второй – множитель x, получаем:
3 ( a – 2 ) – x ( a – 2 ).
Каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель a – 2. Вынесем этот общий множитель за скобки:
( 3 – x ) ( a – 2 ).
Теперь запишем дробь с учётом преобразований в числителе и знаменателе и сократим её: