Здравствуйте, Дорогие друзья! Данная статья поможет школьникам и их родителям в стремлении постичь азы тригонометрии, а также выпускникам старших классов и студентам, у которых из-за большого количества информации, которую нужно «держать в голове», в этой самой голове возникает каша. Сегодня мы с Вами поговорим о том, как легко запомнить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса того или иного угла (ну и еще рассмотрим некоторые формулы из тригонометрии). На самом деле это сделать проще простого. Открою Вам тайну: если Вы помните что синус тридцати градусов равен 0.5, то можете считать, что все остальные значения Вы уже знаете. Не верите? Смотрите:
Всё, что мы сделали – это применили основное тригонометрическое тождество, которое все помнят наизусть, для того, чтобы найти косинус (расписываю действия по шагам):
С одним углом разобрались. Идем дальше. На очереди угол в 45 градусов. Как только мы видим, что у нас есть такой угол, мы автоматически понимаем, что наш треугольник равнобедренный:
То есть у нас есть два одинаковых острых угла и еще один прямой. Это значит, что синус и косинус угла (имеется ввиду угол 45 градусов) будут равны друг другу. Хотите доказательств? Пожалуйста:
Что делать, если забыл значение синуса и косинуса для 45 градусов? Ответ на этот вопрос донельзя прост: делить! Снова берем формулу основного тригонометрического тождества:
Можем оставить так, а можем представить в табличном виде. Чтобы это сделать достаточно избавиться от корня в знаменателе, то есть домножить числитель и знаменатель дроби на ее знаменатель:
Ну вот: для двух углов мы значения нашли. Для двух? А спорим, что для трёх? Мы знаем значения тригонометрических функций для 30, 45 и... 60 градусов. Ведь синус 30 градусов – это косинус 60, а косинус 30 – это синус 60. Для тех, кто не понял, поясняю:
Отлично. Теперь о том, что и запоминать-то не нужно: о синусе и косинусе нуля градусов. Как будет выглядеть треугольник, один из углов которого равен 0 градусов? Я бы сказал, что это будет обыкновенный отрезок, в одной точке которого лежат две точки. Звучит запутанно? Поясним с помощью рисунка:
Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. А так как длина катета ВС равна 0, то и синус равен 0. Косинус, само собой, в этом случае равен единице. Для этого не нужно даже применять тригонометрические тождества: косинус – это отношение прилегающего катета к гипотенузе. То есть для примера, приведенного на рисунке это отношение стороны АС к стороне АВ. А так как в нашем случае катет и гипотенуза – одно и то же, то и их отношение равно 1.
Из того, что угол ВАС равен 0 градусов, Угол ВСА равен 90 градусов следует, что угол АВС также равен 90 градусов (подключите воображение и представьте этот треугольник: гарантированно сломаете мозг). Таким образом, можно утверждать, что синус нуля – это косинус 90 градусов, аналогично косинус 0 – это синус 90 градусов:
Всё. Больше ничего запоминать не нужно. Но как же так, ведь в таблице значений тригонометрических функций обычно указываются значения при 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135 и т.д. градусах? А всё просто: смотрим в какой четверти находится угол. Если во второй (больше 90 градусов, но меньше либо равен 180), то при прибавлении каждых 90 градусов к исходной величине, мы просто меняем значение косинуса на значением синуса с противоположным знаком, то есть:
Видите, как легко? 120 = 30 + 90 – значит у нас значение синуса при тридцати градусах становится значением косинуса, но со знаком минус, а значение косинуса – синусом, но без смены знака. Запишем значения функции для других аргументов угла:
Если угол лежит в третьей четверти (больше 180 градусов, но меньше либо равен 270), то прибавляя 180 градусов к изначальному значению, мы пишем те же значения функций синуса и косинуса, что и в изначальных, но меняем знак на противоположный:
Если угол лежит в четвертой четверти, то значение функции синуса будет таким же как и у косинуса с уменьшенным на 270 градусов аргументом, но с другим знаком, а значение косинуса будет соответствовать значениям синуса угла, находящегося в первой четверти без изменения знака:
Чуть ниже мы подробно рассмотрим почему так происходит.
Составим таблицу значений тригонометрических функций? Легко! Хоть от 0 до 360 градусов:
Сформируем принцип того, как восстановить таблицу значений тригонометрических функций, не помня этих самых значений:
1. Знаю чему равен синус 30 градусов, значит могу найти косинус, тангенс и котангенс этого угла;
2. Знаю чему равны синус, косинус, тангенс и котангенс для 30 градусов, значит знаю чему они равны и для 60 градусов;
3. Знаю, что напротив угла в 0 градусов лежит катет длиной 0, значит знаю, что синус 0 равен 0. А значит знаю и значение косинуса для нуля – единица;
4. Знаю, что напротив угла в 90 градусов всегда лежит гипотенуза, а значит знаю, что если разделить длину гипотенузы саму на себя получу синус, и он будет равен 1. Отсюда делаю вывод, что косинус 90 градусов – нуль;
5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ОПЕАЦИИ
5.1. Знаю, что угол больше 90 градусов, но меньше либо равен 180, а значит знаю, что если от нужного мне угла отниму 90 градусов, то получу тот угол, для которого уже известны синус и косинус. Дальше действую по схеме:
5.2. Знаю, что угол больше 180 градусов, но меньше либо равен 270, а значит знаю, что если от нужного мне угла отниму 180 градусов, то получу тот угол, для которого уже известны синус и косинус. Дальше действую по схеме:
5.3. Знаю, что угол больше 270 градусов, но меньше либо равен 360, а значит знаю, что если от нужного мне угла отниму 270 градусов, то получу тот угол, для которого уже известны синус и косинус. Дальше действую по схеме:
Теперь, как и обещал, разбираемся, почему значения функций изменяют свой знак именно таким образом. Изучить данный материал очень важно! Именно тут скрываются все ответы. Приступим. Вот она, окружность, разделенная на четверти:
Именно так мы угол и отсчитываем от нуля: справа-налево (ну или против часовой стрелки). Но как мы можем связать между собой треугольник и окружность? Рассмотрим в качестве примера случай с 30, 120, 210 и 300 градусами. Первый случай, наш угол равен 30 градусов:
Ну тут всё просто и понятно: радиус окружности – это гипотенуза нашего треугольника. Синус – отношение противолежащей углу стороны к гипотенузе (то есть к радиусу), а косинус – отношение прилежащей к углу стороны треугольника к гипотенузе. Катет АВ лежит в той части оси ординат, где значения игреков положительны. Поэтому и значение синуса в этой четверти положительно (точка С лежит на положительной части оси ординат). То же самое и для косинуса: катет ОВ лежит в той части оси абсцисс, где значения иксов положительны (точка В лежит в положительной части оси абсцисс). Значит и значения косинусов в этой четверти будут положительны. Отсюда следует, что функция синуса привязана к игреку, а функция косинуса к иксу.
Перейдем в другую четверть, то есть будем рассматривать угол 120 градусов:
Как видите, мы просто поворачиваем наш треугольник на 90 градусов влево. И получаем, что катет АВ находится в отрицательной части оси абсцисс (косинус получится отрицательным), а катет ОВ лежит в положительной части оси ординат, значит синус в этой четверти будет положительным. Получается немного запутанно. Мы ведь привыкли, что синус – отношение противолежащего углу катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего углу катета к гипотенузе. А тут получается какой-то «разрыв шаблона». На самом же деле «разрыва» никакого нет. Посмотрите сюда:
Как Вы думаете, одинаковые ли треугольники АОВ и АОС? Абсолютно! Выходит, чтобы найти синус угла в 120 градусов нам нужно найти синус угла АОС? Именно так! Та же история и с косинусом. Но почему? Может быть потому что синус – это проекция радиуса единичной окружности на игрек, а косинус – проекция на икс? В одной из статей мы уже делали подобную анимацию для синуса. Повторим и тут:
Видите? Для нас на данном этапе важно понимать, повторюсь, что синус – это ПРОЕКЦИЯ радиуса окружности на ось игреков, а косинус – проекция радиуса на ось иксов. То есть всё немного сложнее, чем «катет-катет-гипотенуза». Сложнее, но не сильно. Смотрим на рисунок 6. СО – проекция радиуса на ось иксов при значении угла АОD равном 120 градусов. То есть:
Ведь верно? Верно. Если умножим значение косинуса этого угла на радиус (то есть на АО), то получим длину СО (а СО – это проекция АО на ось абсцисс). Но ведь при этом, данное соотношение является еще и синусом для угла АОВ (здесь главное понимать, что АВ и СО по сути одно и то же – это проекции радиуса на ось иксов)! Тоже верное утверждение. А чему равен угол АОВ? Не тридцати ли градусам? Отлично: мы разобрались почему косинус 120 градусов по модулю равен синусу 30 градусов. Теперь разберемся с синусом 120 градусов. ОВ – это проекция радиуса окружности на ось ординат. Отношение ОВ/АО – это косинус угла АОВ. Но надо же какое совпадение: в то же время это и синус угла АОD. Разве нет?
Теперь рассмотрим какие будут значения синусов и косинусов в третьей четверти. Повернем наш треугольник АОВ против часовой стрелки на 180 градусов. Теперь угол АОD стал равен 210 градусов.
Точка В лежит на отрицательной части оси иксов, а это значит, что значение косинуса здесь будет отрицательным. То же самое и с точкой С. Она лежит на отрицательной части оси игреков, это говорит нам о том, что значение синуса в данной четверти также будет отрицательным. Также мы видим, что ОВ – это косинус угла АОD. Но в то же время это и косинус угла АОВ. То есть для 210 градусов значение функции косинуса такое же как и для 30 градусов, но с противоположным знаком (добавляем минус перед значением).
ОС – это синус угла АОD. Но в то же время это и синус угла АОВ. Значит синус 210 градусов равен синусу 30 градусов, но только с противоположным знаком.
Вроде для восприятия не слишком сложно. Рассмотрим последний случай? Угол равен 300 градусов:
Точка В лежит на отрицательной части оси игреков, а значит значение синуса будет отрицательным. ОВ – это синус угла АОD. Но в то же время это и косинус угла АОВ. То есть синус 300 градусов будет равен косинусу 30 градусов, но с противоположным знаком.
Остается только найти значение косинуса угла А’ОD. Точка С лежит на положительной части оси иксов, а значит косинус будет положительным. Косинус угла А’ОD– это ОС. При этом, ОС еще и синус угла АОВ. Отсюда следует, что косинус угла 300 градусов равен синусу 30 градусов без изменения знака на противоположный.
Синус двойного угла
Теперь рассмотрим некоторые формулы из тригонометрии. Начнем, например с синуса двойного угла:
Почему именно так? Возьмем в качестве примера угол альфа равный 20 градусам. Тогда угол 2*альфа будет равен 40 градусам:
Что такое синус угла альфа? Это АВ. А что такое синус двойного угла альфа? Это CD. На первый взгляд всё просто и понятно.
А теперь выразим CD через АВ. Кажется, что общего у треугольников АОВ и CODничего нет. Но это не так. Во-первых их гипотенузы имеют одинаковую длину. Во-вторых и в том и в другом есть угол альфа (правда в треугольнике COD он удвоенный, но не суть важно: главное, что угол этот есть в обоих треугольниках). Итак, для нас важно найти игрековую координату точки S.
Способов это сделать уйма. Можно выразить ее через площади треугольников, но тогда нам придется оперировать трехэтажными дробями. Лучше поступим по старинке и повернем наш треугольник АОВ против часовой стрелки на угол альфа:
Есть ошибки? Нет. Двойной угол имеется? Имеется. Проекция на ось игреков есть? Есть. Вот и отлично, можем развивать свою мысль дальше.
Длина отрезка CD теперь может быть найдена как сумма длин отрезков CN и ND. Но ведь мы не знаем ни того, ни другого. Это правда: не знаем. Но найти их большого труда не составит. Как бы это странно ни звучало, но проще всего определить длину отрезка CN. Однако, перед этим нужно рассмотреть треугольник NCF.
Что мы можем о нём сказать? То, что Угол CFN в нем равен 90 градусов, угол CNF равен углу OND (как накрест лежащий). Угол OND, в свою очередь, равен углу OAB (углы соответственные).
Итого мы получаем:
Три угла одного треугольника соответствуют трем углам другого треугольника. Следовательно, наши треугольники OAB и NCF подобные. А это значит, что отрезок CN во столько же раз меньше отрезка ОА, во сколько и отрезок CFменьше отрезка ОВ.
Длину CF мы знаем: это длина АВ. Также мы знаем длину ОА – это 1 (Ведь ОА – это радиус единичной окружности). То есть наше равенство приобретет вид:
Одну часть отрезка CD мы нашли. Осталось найти еще одну. Сделать это будет чуть-чуть сложнее, чем для CN. Для этого мы также должны рассмотреть подобные треугольники OND и OAB. На первый взгляд, мы не знаем длины ни одной из сторон треугольника OND. Но это только так кажется. Мы знаем чему равна сторона ON:
Запишем теперь в привычном для всех виде, с альфой:
И ничего сложного!
Косинус двойного угла
Посмотрим теперь на формулу косинуса двойного угла?
Смотрим на рисунок:
Мы уже знаем, что косинус нашего угла альфа – это ОВ. Для двойного угла косинусом будет являться уже OD.
Чтобы Вас не путать, повторим вывод формул подобия:
Именно, что формы записи, потому что Вы лично могли убедиться, что вторая формула следует из первой. А если выразить во второй или в первой формуле квадрат синуса через квадрат косинуса, применив основное тригонометрическое тождество, то можно получить третью формулу.
Синус суммы углов
С синусом и косинусом двойного угла разобрались. Только с ними? На самом деле мы еще и синусы с косинусами суммы двух различных углов рассмотрели. Да, формул для них мы еще не записывали, но принцип тот же, что и у двойного угла. Давайте рассмотрим пример, в котором у нас будет два разных угла:
Найдем для суммы углов значение синуса и косинуса. Из учебников мы знаем, что в результате наших действий мы должны получить такую формулу для синуса суммы углов:
Рассмотрим как мы можем получить эту формулу. Возвращаемся к нашим треугольникам АОВ и СОD. Только теперь угол COD – это не удвоенный угол АОВ. Для примера пусть угол АОВ останется равным 20 градусам, а угол CODпусть будет равен 50 градусам:
То есть угол альфа у нас равен 20 градусов, угол бета – 30 градусов, а их сумма образует угол СOD, который равен 50 градусов. Снова представляем всё в виде двух треугольников: один из них АОВ мы не трогаем, второй попросту создаем и поворачиваем его против часовой стрелки на угол АОВ:
Действуем по отработанной схеме. Строим высоты из точки N к оси иксов и к оси игреков:
Отрезок CD – это синус суммы углов. Почему так мы уже разобрались раньше, когда работали над формулой синуса двойного угла. Длину этого отрезка мы можем найти сложив длины отрезков СК и KD. Проще всего найти длину отрезка KD:
Треугольники NOL и АОВ – подобные, а значит мы можем утверждать, что:
Отлично: одну часть отрезка CDмы нашли без каких либо усилий. Теперь нам нужно найти другую его часть, а именно CK. Для этого нам понадобится установить подобны ли треугольники ОАВ и KCN. Рассмотрим углы этих треугольников. Для наглядности размещу рисунок здесь:
Сразу можем сказать, что угол CKNравен углу CNO(оба по 90 градусов). Угол OSD равен углу СSN(накрест лежащие). Угол СNSравен 90 градусов, а значит угол SСN равен углу АОВ. Чтобы не запутаться запишем всё это в наглядном виде:
Теперь с чистой совестью мы можем утверждать, что треугольники OАВ и SCN подобны. А так как отрезок KN перпендикулярен стороне SC, то и треугольник KCN подобен треугольнику ОАВ. Поясню для тех, кто не верит на слово:
Доказано. Теперь установим соответствие между сторонами треугольника CKN и треугольника ОАВ:
Косинус суммы углов
Рассмотрим теперь косинус суммы двух различных углов. Новый рисунок для этого строить не нужно. Дублируем рисунок 26:
Мы уже разобрались ранее, что косинус угла COD– это отрезок ОD. Найти длину данного отрезка мы можем несколькими способами. Например, использовать основное тригонометрическое тождество (ведь мы знаем формулу синуса суммы углов). Но это не очень интересно. Воспользуемся также подобием треугольников. То что треугольники CSN и АОВ подобные доказывать не будем – это и так видно (да и кажется мы доказывали нечто подобное совсем недавно). Составим для их сторон соотношения:
Вот мы и вывели формулу для синуса и косинуса суммы углов. А для синуса и косинуса разности слабо? Нет конечно же! Выводим.
Синус разности углов
Снова строим единичную окружность и два различных треугольника АОВ и СОD. Пусть, в качестве примера, угол АОВ равен 50 градусов (альфа), а угол CODравен 30 градусов (бета):
Почему я расположил треугольники именно так, то есть почему я сделал не так:
Все просто: обратите внимание на треугольники ALN и OCD на рисунке 28 и на треугольники CLD и OCD на рисунке 29. В первом случае треугольники подобные, а во втором – нет. Зачем нам подобие этих треугольников? Отвечу и на этот вопрос: условно о треугольнике OCD мы знаем всё, а значит сможем найти закономерности, которые свяжут стороны этих треугольников и в результате найдем чему равен синус угла АОС. Итак, чтобы Вы не запутались, дублирую рисунок с правильным расположением треугольников:
Запишем то, что мы знаем о треугольниках АОВ и COD:
Итак, нам нужно найти синус разности углов АОВ и COD, то есть синус угла АОС. Для этого достаточно найти длину отрезка AN (если не поняли почему так, то мысленно поверните треугольник AONпо часовой стрелке на угол COD). Лучше покажу наглядно:
AN– это один из катетов треугольника ALN. Если мы найдем длину гипотенузы этого треугольника (AL), то сможем найти и длину этого катета. AL мы найдем самым простым способом:
Ну что, выведем формулу для косинуса суммы углов?
Косинус разности углов
Дублируем рисунок 30:
Итак, мы знаем всё о треугольниках АОВ (угол АОВ – это угол альфа) и COD (угол COD – это угол бета), но мы ничего не знаем о треугольнике AON (угол АОС получается вычитанием угла бета из угла альфа). Как раз один из его катетов (AN) – косинус разности углов альфа и бета.
Для начала найдем длину отрезка AL:
Сумма синусов
Рассмотрим теперь сумму синусов и косинусов. Сумму синусов мы можем найти по формуле:
Как будет выглядеть подобная сумма, если мы отобразим ее на рисунке? Приблизительно вот так:
Формула суммы синусов очень похожа на формулу синуса двойного угла не случайно. Это так потому что сумма синусов вычисляется путем применения формулы синуса суммы. Смотрите: изменится ли что-то от того, что мы представим угол АОВ вот так:
Готово: формула суммы синусов получена. Думаю, что для суммы косинусов формулу получить будет ничуть не сложнее.
Сумма косинусов
Запишем формулу, которую должны получить в результате:
Итак, запишем альфа и бета через суммы и разности половинных углов:
Пользуясь тем, что косинус – четная функция (косинус отрицательного угла равен косинусу положительного), можем записать:
Отлично! С синусами и косинусами разобрались. Поговорим теперь немного о теореме Пифагора.
Посмотрим на рисунок:
Запишем-ка основное тригонометрическое тождество:
Это, наверное, самое простое доказательство теоремы Пифагора, которое существует (ну или если обратить наши действия, то это будет доказательством уже для основного тригонометрического тождества).
Славно поработали! На сегодня, пожалуй, всё. Надеюсь, что мои труды были не напрасными (для меня это важно) и эта статья Вам чем-нибудь да поможет. Спасибо, что читаете. Удачи в учебе и труде!
