В комментарии к прошлой статье о нейроне ФитцХью-Нагумо @WorryWick справедливо заметил, что рассмотрение поведения этого нейрона в области наблюдения одного устойчивого колебательного режима не столь интересно, как исследование его поведения вблизи бифуркаций. Уравнения модели, на примере которой мы здесь обсудим поведение нейрона ФитцХью-Нагумо вблизи бифуркации Андронова-Хопфа, приведены на рисунке 1.
Бифуркацией Андронова-Хопфа называют переход между состоянием равновесия и предельным циклом (периодические колебания). Эта бифуркация может происходить при изменении параметров мягко, как в нашем случае, тогда цикл возникает вблизи равновесия с амплитудой, стремящейся к нулю в точке бифуркации. В случае жёсткого возбуждения автоколебаний в точке бифуркации происходит резкое переключение между состоянием равновесия и циклом конечной амплитуды.
Для полноценного исследования бифуркационных переходов нужно не только находить решения динамической системы, но и вычислять их показатели устойчивости (мультипликаторы или показатели Ляпунова). Здесь мы ограничимся только феноменологическим подходом и рассмотрим однопараметрическую диаграмму и фазовые портреты. На диаграммах на рисунках 2 и 3 представлены зависимости минимальной и максимальной величин переменной x в нейроне при изменении параметра a для трёх фиксированных значений параметра временного масштаба ε. При уменьшении параметра a от значения 1.005 до 1.0 мы наблюдаем совпадающие максимум и минимум переменной икс, что отвечает состоянию равновесия. При дальнейшем уменьшении параметра a<1 максимум и минимум начинают различаться и амплитуда периодической орбиты увеличивается, пока не выходит на максимальное значение, близкое к четырем. Для разных параметров ε увеличение амплитуды цикла происходит с разной скоростью при одинаковом уменьшении параметра a. Во всех случаях существует промежуток резкого нелинейного роста амплитуды цикла, когда подпороговые колебания сменяются спайковыми. Момент перехода от подпороговых колебаний к спайковым происходит при различных значениях a, зависящих от параметра ε.
На рисунках 4-6 приведены фазовые портреты нейрона ФитцХью-Нагумо для различных значений параметра a вблизи точки бифуркации a=1. В целом в фазовом пространстве вид фазового портрета не отличается заметно, кроме области вблизи состояния равновесия, которая приближена на рисунках 7-9.
В случае a=1.001 (рисунок 9) мы наблюдаем устойчивое состояние равновесия, в которое довольно быстро приходят траектории со всего (рассмотренного на рисунке 6) фазового пространства. При уменьшении параметра a до значения 1 время прихода фазовых траекторий в состояние равновесия экспоненциально увеличивается, а в самой точке a=1 равно бесконечности, поскольку состояние равновесия сосуществует с циклом бесконечно малой амплитуды и оба эти решения нейтрально устойчивы. Когда параметр a пересекает значение 1 и становится меньше единицы, состояние равновесия становится неустойчивым, а предельный цикл, рождённый из бесконечно малого в его окрестности, становится устойчивым. Поэтому мы его и наблюдаем.
Описанный сценарий известен как рождение предельного цикла через бифуркацию Андронова-Хопфа.
p. s. Чтобы сразу увидеть новый материал в моем блоге в своей ленте, подписывайтесь! Буду рад комментариям, вопросам, предложениям.
