Кодирование и декодирование информации являются ключевыми процессами в передаче и обработке данных. Этот процесс включает в себя перевод информации из одной системы символов или языка в другой, а также обратный переход.
В большинстве случаев кодирование подразумевает перевод информации с понятного для человека языка в более формальный вид, такой как двоичный код. Декодирование, в свою очередь, означает восстановление исходной информации из кодированного представления.
В процессе кодирования один символ исходного сообщения может быть заменен на один символ нового кода, несколько символов или даже целые группы символов, и наоборот. Примером такой ситуации могут служить китайские иероглифы, которые представляют целые слова или понятия.
Существуют различные методы кодирования, включая равномерное и неравномерное. В равномерном кодировании каждый символ кодируется кодом фиксированной длины. В неравномерном кодировании разные символы могут использовать коды разной длины, что может усложнить процесс декодирования.
Равномерное кодирование
Равномерное кодирование представляет собой метод кодирования, при котором каждый символ исходного сообщения кодируется с использованием кода фиксированной длины. Это означает, что все символы имеют одинаковое количество битов в своем кодированном представлении. Такой метод имеет простую структуру и позволяет легко декодировать информацию, но может быть неэффективным для символов, которые встречаются с разной частотой.
Давайте рассмотрим пример на основе английского алфавита. Если у нас есть алфавит, состоящий из 26 букв, и мы решаем кодировать каждую букву с помощью 5-битовых кодов, то мы можем провести кодирование следующим образом:
- A: 00000
- B: 00001
- C: 00010
- ...
- Z: 11001
В этом примере каждая буква кодируется с использованием 5 битов, и независимо от
частоты использования букв, длина кода остается постоянной.
Предположим, что мы хотим закодировать слово «CAT». С помощью равномерного кодирования:
C (00010) A (00000) T (11001)
Теперь, чтобы декодировать закодированное сообщение, мы можем просто разбить его на группы по 5 битов и преобразовать каждый код в соответствующий символ.
Однако равномерное кодирование может стать неэффективным, если частоты символов сильно отличаются. Например, если буква «E» встречается намного чаще, чем остальные буквы, то кодирование ее также 5 битами будет неэффективным с точки зрения использования памяти.
Неравномерное кодирование
Неравномерное кодирование, включая кодирование с условием Фано, представляет метод, при котором разные символы или символьные группы кодируются с использованием кодов разной длины. Этот метод позволяет более эффективно представлять символы с более высокой частотой использования, используя более короткие коды, в то время как символы с низкой частотой использования могут быть закодированы с более длинными кодами.
Условие Фано, также известное как принцип Фано, является важной характеристикой неравномерного кодирования. Оно устанавливает, что ни одно кодовое слово не может быть началом другого кодового слова. То есть ни один код не является префиксом для другого кода. Это свойство обеспечивает однозначность декодирования, так как декодер может однозначно определить границы между кодами без неоднозначности.
Подробнее рассмотрим этот принцип на примере. Предположим, у нас есть следующие коды для символов:
- A: 0
- B: 10
- C: 110
- D: 111
В этом случае условие Фано соблюдается, потому что ни один код не является префиксом для другого кода. Например, код «A» (0) не может быть началом ни одного другого кода, и та же логика применима и к остальным кодам.
Для того, чтобы не запутаться – можно нарисовать двоичное дерево, которое поможет нам визуализировать коды каждого символа.
Допустим, мы хотим закодировать строку «BAC». С использованием данных кодов:
B (10) A (0) C (110)
Чтобы декодировать закодированное сообщение, мы можем начать с начала и последовательно сопоставлять коды с символами, не беспокоясь о возможных неоднозначностях.
Задание из ЕГЭ
По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, Г, И, М, Р, Я. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: А – 010, Б – 00, Г – 101. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова ГРАММ?
Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.
Решение:
Для начала нарисуем двоичное дерево с уже известными буквами
Жёлтым цветом выделены места, где мы можем поставить букву или дальше раскрывать дерево.
Для того чтобы выполнить условие Фано (ни одно кодовое слово не совпадает с началом другого кодового слова), необходимо, чтобы все буквы размещались в листьях дерева.
Осталось 3 незакодированные буквы: И, М, Р.
В слове ГРАММ нам неизвестен код двух букв: Р и М. Отметим, что буква М встречается дважды, значит стремимся к тому, чтобы код буквы М был короче, чем буквы Р.
Заполняя дерево, получаем, что буква М имеет код 11, а буква Р – 100 (или 011, что также допустимо)
Для подсчета количества двоичных знаков посчитаем суммы всех знаков:
Г + Р + А + М + М = 3 + 3 + 3 + 2 + 2 = 13
Ответ: 13
