Задача: Две окружности касаются внешним образом в точке O. Прямая касается первой окружности в точке M и пересекает вторую в точке K. Прямая MO пересекает вторую окружность в точке N. Найдите отрезок KN, если MO = 5, а NO = 4.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Через точку O проведём общую касательную для обеих окружностей, она пересекает MK в точке P. Продолжим OK до пересечения с первой окружностью в точке Q и проведём хорду MQ (см рисунок)
По теореме об угле между касательной и хордой ∠MOP = ︶OM/2 ⇒ ∠MOP = ∠MQO. Аналогично угол, вертикальный углу ∠MOP, равен углу ∠OKN. А поскольку вертикальные углы равны, то соответственно равны углы ∠MQK = ∠NKQ (см рисунок)
Рассмотрим △QOM и △KON:
- ∠MQK = ∠NKQ (по вышедок.)
- ∠QOM = ∠KON (как вертикальные)
⇒ △QOM ~ △KON по I признаку подобия треугольников ⇒ x/MQ = OK/OQ = 4/5. Из данного отношения выведем два выражения: 1) x = 4MQ/5; 2) OK/OQ = 4/5.
Рассмотрим отношение OK/OQ = 4/5. Пусть OK = 4y, тогда OQ = 5y и QK = OK + OQ = 4y + 5y = 9y. По теореме о квадрате отрезка касательной MK^2 = OK * QK; MK = √(OK * QK) = √(4y * 9y) = √(36y^2) = 6y.
Рассмотрим △QMK и △MOK:
- ∠QKM - общий
- ∠MQK = ∠KMO (так как по теореме об угле между касательной и хордой ∠KMO=︶OM/2)
⇒ △QMK ~ △MOK по I признаку подобия треугольников ⇒ MQ/5 = QK/MK; MQ = 5 * QK/MQ = 5 * 6y/4y = 15/2 ⇒ x = 4MQ/5 = 4 * (15/2)/5 = 30/5 = 6.
Ответ: 6.
Задача решена.