Задача: Верно ли, что окружность, проходящая через точки A, B и C на рисунке, также пройдёт и через точку M?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём AM и BM. Найдём длины всех отрезков путём построения прямоугольных треугольников, гипотенузами которых являются данные отрезки:
Итак, AM = √10, BM = √5, AC = 2√10, AB = 5 и BC = √5. Вокруг четырёхугольника можно описать окружность, если его противоположные углы в сумме дают 180°. Тогда косинусы ∠AMB и ∠ACB должны быть противоположными.
В △AMB: cos (∠AMB) = (AM^2 + BM^2 - AB^2)/(2 * AM * BM) = (10 + 5 - 25)/(10√2) = -10/(10√2) = -1/√2 = -√2/2.
В △ACB: cos(∠ACB) = (AC^2 + BC^2 - AB^2)/(2 * AC * BC) = (40 + 5 - 25)/(20√2) = 20/(20√2) = 1/√2 = √2/2.
Итак, cos (∠AMB) = - cos(∠ACB) ⇒ ∠AMB = 180° - ∠ACB; ∠AMB + ∠ACB = 180° ⇒ вокруг четырёхугольника AMBC можно описать окружность ⇒ окружность, проходящая через точки A, B и C на рисунке, также пройдёт и через точку M.
Ответ: Да.
Задача решена.
