Задача: На отрезке AC взята точка B. По одну сторону от прямой AC на отрезках AB и AC как на диаметрах построены полуокружности. К отрезку AC в точке B проведён перпендикуляр BD до пересечения с большей из полуокружностей в точке D, а из точки C проведена касательная CK к меньшей из них. Докажите, что CD = CK.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме о квадрате отрезка касательной CK^2 = BC * AC ⇒ CK = √(BC * AC). Проведём AD. Поскольку образованный угол ∠ADC опирается на диаметр, то ∠ADC = 90°. Рассмотрим прямоугольный △ADC: BD - высота, опущенная на гипотенузу; по св-у прямоуг. треугольника BD^2 = AB * BC.
Рассмотрим прямоуг. △CBD: по теореме Пифагора CD^2 = BC^2 + BD^2 ⇒
CD^2 = BC^2 + AB * BC
CD^2 = BC * (BC + AB)
CD^2 = BC * AC
CD = √(BC * AC)
Итак, CD = √(BC * AC) и CK = √(BC * AC) ⇒ CD = CK.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.
