За границу поехала группа туристов из 100 человек. 10 из них не знали ни немецкого, ни французского языка. 75 человек знали немецкий язык. 83 человека знали французский язык. Сколько туристов владели двумя иностранными языками?
Замечательный швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому периоду относятся его знаменитые "Письма к немецкой принцессе". В них он использует свои круги.
Разберём решение задачи номер 28 с помощью кругов Эйлера.
Начертим большой круг - это группа туристов из 100 человек.
В нём слева нарисуем круг поменьше и поместим туда всех туристов, знающих немецкий язык. Их 75 человек. Обозначим круг буквой Н.
Изобразим в большом круге ещё один круг справа и поместим туда всех туристов, знающих французский язык. Их 83 человека. Обозначим круг буквой Ф.
Так как часть туристов знали оба иностранных языка, то круги будут пересекаться. На пересечении будет число, которое надо найти.
Остаётся на рисунке отметить тех туристов, которые не знают ни одного иностранного языка.
Внутри круга с туристами, знающими немецкий язык 75 человек. Значит, в той части круга с туристами, знающими французский язык, которая расположена вне Н, находится 90-75=15 туристов, которые знают только французский язык.
Всего таких туристов 83, значит 83-15=68 туристов, владеющих обоими языками.
Задача решена.
В общем виде задача выглядит так.
Давайте разберем более сложную олимпиадную задачу👇
Рассмотрим четыре множества: множество всех учеников У; множество учеников А, знающих английский; множество учеников Н, знающих немецкий; и множество учеников Ф, знающих французский.
Все три языка знают три ученика, значит в пересечение множеств А,Н,Ф вписываем число 3.
Английским и французским языками владеют 10 человек, а три из них ещё и владеют немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 учеников.
Английским и немецким владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. Получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек.
Немецкий и французский знают 5 человек, а трое из них знают ещё и английский язык. Следовательно, только немецким и французским владеют 5-3=2 ученика.
Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2 =10 из них владеют и другими языками, следовательно только немецкий знают 20 человек.
Аналогично получаем что одним английским владеют 13 человек, а одним французским -30 человек.
По условию задачи всего 100 учеников. 20+13+30+5+7+2+3=80 учеников знают хотя бы один язык, следовательно 20 человек не владеют ни одним из данных языков.
Ответ: 20 учеников не знают ни одного языка.
Подробно решение задач с помощью кругов Эйлера по программе дети проходят в 9-ом классе, а вот олимпиадные задачи по этой теме встречаются уже в 7-ом. Чем раньше ребенок познакомится с такими задачами, тем лучше.
Предлагаю вашему вниманию три задачи из моей коллекции. Их можно использовать для занятий с детьми в любое удобное для вас время.
🥣🥣🥣🥣🥣🥣🥣🥣🥣🥣
Специалист по изучению спроса населения представил в трест столовых такой отчёт:
число опрошенных-100 человек,
Из них пьют кофе -78 человек, пьют чай -71 человек, пьют кофе и чай - 48. Отчёт забраковали. Почему?
🧑🤝🧑🧑🤝🧑🧑🤝🧑🧑🤝🧑🧑🤝🧑🧑🤝🧑🧑🤝🧑🧑🤝🧑🧑🤝🧑🧑🤝🧑
Из 37 учеников одного класса только трое в каникулы не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побывали 25 человек, в театре 11, в цирке 17, в кино и театре - 6, в кино и цирке -10, в театре и цирке - 4. Сколько человек побывали и в кино, и в театре, и в цирке?
👩🦰👱👩🦱👩🦰👱👩🦱👩🦰👱👩🦱👩🦰
У Кати и Любы вместе 24 конфеты, у Любы и Даши - 16 конфет, у Кати и Даши - 26 конфет. Сколько конфет у каждой девочки?
Дорогие друзья! На этом пока завершаю цикл олимпиадных задач из моего списка. Вернусь к ним попозже. От учеников приходят заявки на решение трудных задач ВПР, ОГЭ, ЕГЭ. Ждите публикаций на эти темы.
У нас идут приготовления к Новому году❄️. Занесли ёлочку🎄. Повесили гирлянды на окна🎆🎇. По традиции в преддверии праздника я для внуков нарисовала картину.
До Нового года осталось совсем ничего. Приятных вам хлопот и с Наступающим! Спасибо за подписку вновь прибывшим.
С вами Любовь, автор канала.