Сначала немного информации из физики (термодинамики).
Энтропи́я (от др.-греч. «обращение; превращение») – это широко используемый (с подачи Клаузиуса в 1865 году) в естественных и точных науках термин. При этом в различных сферах знаний (в термодинамике, в статистической физике, в теории информации, в теории управления, в технологии, и т.д.) энтропия трактуется, «расшифровывается» по-своему. То есть существуют разные аспекты, разные точки зрения на понятие «энтропия» (об этом читателю полезно почитать самому в Википедии).
Термодинамическая энтропия (S) отличается своей абстрактностью, а её физический смысл [энтропия – это логарифм числа (V) доступных состояний системы: S = lnV] непосредственно не вытекает из её математического выражения и не поддаётся простому интуитивному восприятию. Ниже мы рассмотрим Пирамиду делителей (в поиске её энтропии), что поможет глубже прочувствовать смысл понятия «доступные состояния системы» (на примере Пирамиды делителей из мира натуральных чисел).
Чёрная дыра – это область пространства-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света, в том числе кванты самого света. Граница этой области называется горизонтом событий. Далее мы будем рассматривать простейший случай, то есть сферически симметричную чёрную дыру, у которой горизонт событий – это сфера (шар) с гравитационным радиусом, который считается характерным размером чёрной дыры.
Энтропия (S) чёрной дыры пропорциональна площади (А) её поверхности (площади её горизонта событий) – это следует из формулы Хокинга-Бекенштейна (1975 г.):
S = A/4/(lпл)2∙k, (1)
где, с точки зрения физики, «изюм» формулы (1) в множителе А/4 (то есть в прямой зависимости энтропии от площади), а всё прочее – это лишь необходимые для соблюдения размерности физические константы (k и lпл).
А теперь мы переходим к миру натуральных чисел.
На рис. 1 представлена Пирамида делителей – главное «наглядное пособие» числофизики. Где черные камни-клетки в строке справа от каждого числа N – это все его целые делители.
Поставим такой любопытный вопрос: сколько существует вариантов (вариаций) нарисовать Пирамиду высотой N? Иначе говоря, чему равно (см. выше из физики) «число (V) доступных состояний системы» (в данном случае – нашей Пирамиды)? Так вот, оказывается (убедитесь в этом сами, см. рис. 2, где имеет значение только цвет камней: белый и чёрный), что для нахождения числа всевозможных вариантов всякой N-й строки (ВN) Пирамиды достаточно воспользоваться известной формулой из комбинаторики:
ВN = C(N~0) + C(N~1) + C(N~2) + C(N~3) + C(N~4) + … + C(N~N), (2)
где C(N~k) (извините за мои дурацкие обозначения на Дзене) – это число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из N чисел по k чисел (в нашем случае: из N камней по k камней), где k = 0, 1, 2, 3, 4, …, N. При этом
С(N~k) = N!/k!/(N – k)!, (3)
где n! = 1∙2∙3∙4∙…∙n – факториал числа n (и принято такое соглашение: 0! ≡ 1). По формуле (3), например, для строки N = 5 мы получаем: ВN = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 – число вариантов сочетаний белых и чёрных камней (это легко проверить, см. рис. 2), но из них в нашей Пирамиде делителей реализуется только один «наш» вариант (согласно алгоритму построения Пирамиды делителей); на рис. 2 номер «нашей» строки (среди всех возможных вариаций) помечен розовым цветом.
При этом даже у самых первых строк Пирамиды мы быстро подмечаем следующий красивый (в своём предельном лаконизме) факт:
ВN = 2^N, (4)
то есть у N-й строки Пирамиды количество вариантов (ВN) или, иначе говоря, количество доступных состояний «картинки» этой строки, равно N-й степени двойки, где N– это количество клеток (камней Пирамиды) в данной строке (площадь данной строки).
Рассуждаем далее: в 1-й строке есть всего два варианта (белый или чёрный камень), а во 2-й строке есть уже четыре варианта (это легко проверить). Значит, белый камень 1-й строки будет комбинироваться с четырьмя вариантами 2-й строки, и чёрный камень 1-й строки будет комбинироваться с теми же четырьмя вариантами 2-й строки. Продолжая эти рассуждения (нарастающие лавинообразно с каждой новой строкой) для прочих строк, мы приходим к очевидному выводу: гипотетическую Пирамиду высотой N мы можем нарисовать таким количеством всевозможных вариантов:
VN= В1∙В2∙В3∙В4∙…∙ВN = 2^(1+2+3+4+…+N) = 2^F, (5)
где F – это количество всех камней (чёрных, белых, серых) в Пирамиде высотой N (в 1-й строке – 1 камень, во 2-й строке – 2 камня, в 3-й строке – 3 камня, …, в N-й строке – N камней). Иначе говоря, F – это площадь указанной плоской Пирамиды (в единицах площади одного плоского камня, всё это подразумевается на плоскости, то есть в двумерном пространстве). Параметр F вычисляется по очевидной формуле (которую открыл гениальный Карл Гаусс будучи ещё ребёнком):
F ≡ 1 + 2 + 3 + 4 +…+ N = (1 + N)∙N/2 ≈ N^2/2. (6)
Таким образом, по аналогии с формулой S = lnV из термодинамики (см. физику), исходя из полученных нами формул (5) и (6), в рамках числофизики мы можем ввести новое понятие – энтропия (Э) Пирамиды делителей высотой N:
Э ≡ ln(VN) = F∙ln2 ≈ 0,693∙F, (7)
Э = (1 + N)∙N/2∙ln2 ≈ 0,693∙N^2/2. (8)
Например, для Пирамиды делителей высотой N = 50 (что изображена на рис. 1) по нашим формулам получаем такие параметры: VN ~ ℮^884 ~ 10^(884/ln10) ~ 10^384 (число вариаций 50-ти строк Пирамиды высотой N = 50, т.е. столькими способами можно нарисовать Пирамиду, но только одна из них окажется нашей Пирамидой делителей); F = 1275 (площадь Пирамиды делителей в единицах площади одного камня); Э ≈ 884 (энтропия Пирамиды делителей).
Итак, энтропия Пирамиды высотой N пропорциональна площади этой Пирамиды (в единицах площади одного камня-клетки). При этом мы выбрали для энтропии Пирамиды символ «Э», чтобы различать энтропию в Пирамиде делителей и энтропию в физике (термодинамике). Ведь определение нашей энтропии (Э) совпадает (даже по своему физическому смыслу) с понятием энтропии (S) в термодинамике: S = lnV, где V– количество доступных состояний системы (в Пирамиде это параметр VN). Более того, наша энтропия (Э) пропорциональна площади Пирамиды (высотой N), что также «копирует» закон Хокинга-Бекенштейна: энтропия (S) чёрной дыры пропорциональна площади её поверхности (площади её горизонта событий).
У автора «ВКонтакте» находится данная статья полностью (на 18 страницах книжного формата А5), а здесь, в силу специфики «гуманитарного» Дзена, приведена лишь короткая (и, увы, малоинтересная) «выжимка» из полной статьи автора (см. ссылку чуть выше).
Таким образом, в рамках числофизики обнаружена применимость понятия «энтропия» для Пирамиды (его Ствола и Ядра), а также для любого отдельно взятого натурального числа N (от простого числа до сверхсоставного числа) и его «внутренних» частей (малых и больших делителей, линейных делителей и т.д.). Всё это, пожалуй, один из мощных аргументов в пользу легитимности термина «числофизика» (если это и бред автора, то весьма продуктивный).
В конце гл. 3 (полной статьи) были приведены ссылки на две статьи автора, подробно описывающие законы Пирамиды и её Ствола, Ядра. Используя эти законы и ключевые понятия об энтропии мира натуральных чисел (изложенные в данной статье) – можно попытаться понять («увидеть») как именно мир чисел «моделирует» законы фундаментальной физики в части энтропии чёрной дыры, а также таинственной гравитации, тёмной энергии и тёмной материи.
29.12.2023, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2023
