Задача: Найдите длину хорды AB на рисунке, если сторона клетки равна 1.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём отрезки CE и DE. Докажем, что отрезки CE и DE лежат на одной прямой. Проведём хорды AC и AD. Найдём длины отрезков CE, DE, AD, AE и AC путём построения прямоугольных треугольников, гипотенузами которых являются данные отрезки:
Итак, CE = √5, DE = 2√5, AD = √37, √AE = 5 и AC = √34. Чтобы отрезки CE и DE лежали на одной прямой, то углы ∠AEC и ∠AED должны быть смежными, тогда ∠AEC = 180° - ∠AED и косинусы данных углов должны быть равны по модулю. В △AEC: cos (∠AEC) = (5^2 + (√5)^2 - (√34)^2)/(2 * 5 * √5) = -4/10√5 = -2√5/25. В △AED: cos (∠AED) = (5^2 + (2√5)^2 - (√37)^2)/(2 * 5 * 2√5) = 8/20√5 = 2√5/25
⇒ cos(∠AEC) = -cos (∠AED) ⇒ ∠AEC и ∠AED - смежные ⇒ CE и DE лежат на одной прямой.
По теореме о произведении отрезков хорд AE * BE = CE * DE ⇒
5 * BE = √5 * 2√5
BE = 10/5
BE = 2
AB = AE + BE = 5 + 2 = 7.
Ответ: 7.
Задача решена.
