Задача: Прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD с точкой пересечения прямых AB и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону BC.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим △AED: по теореме Чевы AB/BE * CE/CD * DN/AN = 1 ⇒
AB/BE * CE/CD = 1
AB/BE = CD/CE
Рассмотрим ∠AED: поскольку AB/BE = CD/CE, то по обратной теореме о пропорциональных отрезках BC∥AD ⇒ ABCD - трапеция. Тогда по замечательному св-у трапеции M - середина основания BC.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.
