ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПРИ ПОМОЩИ РЯДА СУММ И РАЗНОСТЕЙ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ КОСИНУСА И СИНУСА, ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ ОТ ОДНОЙ ЧАСТОТЫ?

Автор статьи: Боровинских Александр Евгеньевич, ученик 11технического класса, школы МАОУ лицей №35 г. Челябинск.

Так мною был поставлен вопрос, который я адресовал учителю математики, ответа на него я не получил.

И действительно, функции синусоид и произвольная функция заданы в одном ортонормированном базисе, тогда возникает вопрос: возможно ли суммой и разностью синусоид разной частоты, но разных по фазе и амплитуде, описать произвольную функцию?

Ответ на данный вопрос может пригодиться в аналоговой логике для решения задачи модуляции сигнала. Так, например, возможно будут иметься случаи, когда для вычисления приближенных значений функции на промежутке, будет эффективнее использовать представление от одних частот, нежели главенствующие сейчас представление в виде ряда Фурье.

Начать стоит с представления синусоид в виде рядов Тейлора. Идея проста: любую гладкую произвольную функция мы можем представить в виде степенного ряда Тейлора, если нам удастся описать каждый элемент этого разложения при помощи синусоид, то сумма всех представленных таких элементов ряда будет сходиться к самому степенному ряду Тейлора, от гладкой функции. Самый простой пример иллюстрирующий данную идею - это первый замечательный придел. sin(x)/x -> 1, при x->0. Давайте запишем это утверждение, уйдя от лимита x, ведя лимит другой переменной, например, переменной j, получим: sin(jx)/j -> x, при j -> 0, эта запись аналогична записи jsin(x/j) -> x, при j -> ∞. Оба эти утверждения доказываются аналогично, поэтому в качестве примера я приведу доказательство второй записи, представим sin(x/j) в виде ряда Тейлора, получим: sin(x/j) = x/j - (x^3)/(3!j^3) + (x^5)/(5!j^5) + ... Помножая обе стороны уравнения на j мы получаем в степенном ряде единственную переменную не имеющую в знаменателе, или числителе j, таким образом при j -> ∞, все остальные члены степенного ряда, кроме первого стремятся к нулю. Проведём аналогичную операцию с cos(x/j). cos(x/j) = 1 - (x^2)/(2!j^2) + (x^4)/(4!j^4) + ... Если мы сразу помножим обе стороны уравнения на 2!j^2, то получим в правой части ненужный элемент 2!j^2 * 1 = 2!j^2, который при h -> ∞ , будет стремиться к бесконечности. Но мы же работаем с уравнением (хоть и пользуемся лимитами), так давайте вычтем ненужный нам элемент в виде 1 из правой и левой части, получим: cos(x/j) - 1 = -(x^2)/(2!j^2) + (x^4)/(4!j^4) + ... Теперь, чтобы описать x^2 нам достаточно помножить обе части уравнения на -2!j^2, получим: -(2!j^2)(cos(x/j) - 1) = x^2 - (2!x^4)/(4!j^2) + ... При h -> ∞ , -(2!j^2)(cos(x/j)-1) -> x^2. И вот мы уже можем описывать до второго члена включительно разложения в ряд Тейлора любую гладкую функцию, при помощи косинуса и синуса от одной частоты.

Но проблемы начинаются при попытке описать степенные функции от показателя больше 2. В качестве примера достаточно рассмотреть попытку описания степенной функции от показателя равного 3. Имеем -(!j^3)(cos(x/j)-x/j) -> x^3, при j -> ∞. НО! По условию задачи, мы не можем использовать степенную функцию от показателя равного 1. Мы должны использовать аппроксимацию этой степенной функции, тогда имеем: -(3!j^3)(sin(x/j) - (jsin(x/j))/j) = 0, при любом j и любом x. Аналогичная ситуация происходит, при попытки описать любые степенные функции от показателей больше 2.

Таким образом не удалось доказать, что максимально возможное приближение произвольной функции возможно только до члена разложения в степенной ряд Тейлора, содержащего в себе степенную функцию от показателя равного 2 включительно (в зависимости от вида ряда разложения).

///

Возникает вопрос: сколько нужно наборов частот, чтобы описать степенные функции от показателя больше, чем 2? ответ на этот вопрос можно найти в моей работе, доступной в облачном хранилище по ссылке: https://cloud.mail.ru/public/jgYH/EYSCKYvT7

Если у вас остались опросы, появились предложения, то можете задать их в секции комментариев.

СПАСИБО ЗА ПРОЧТЕНИЕ