Задача: В прямоугольник со сторонами 10 и 11 вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как 2 : 1. Найдите периметр этого прямоугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
△MAL = △KCN по гипотенузе и острому углу. △NBM = △LDK по гипотенузе и острому углу. Также большие треугольники △MAL и △KCN подобны меньшим △NBM и △LDK по I признаку подобия треугольников.
Пусть AL = a, тогда LD = 10 - a. Из подобия △MAL и △LDK следует, что ML/LK = AL/KD = MA/LD ⇒ 2x/x = a/KD = MA/10-a ⇒ KD = a/2 и MA = 20 - 2a.
Поскольку △NBM = △LDK, то BM = KD = a/2. Итак, AB = MA + BM = 20 - 2a + a/2 и AB = 11, приравняем правые части выражений:
20 - 2a + a/2 = 11 | *2
40 - 4a + a = 22
-3a = -18
a = 6
Тогда LD = 10 - a = 10 - 6 = 4 и KD = a/2 = 6/2 = 3. В △LDK по теореме Пифагора: x = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5 ⇒ PMNKL = 2(2x + x) = 6x = 6 * 5 = 30.
Ответ: 30.
Задача решена.
