Задача: На основаниях трапеции вне её построили правильные треугольники. Докажите, что отрезок, соединяющий две их вершины, не принадлежащие трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть O - точка пересечения EF и BD. Правильные треугольники △AFD и △BEC подобны, пусть коэффициент подобия равен k, тогда BE/DF = BC/AD = k.
Рассмотрим треугольники △OBE и △ODF:
- ∠BOE = ∠DOF (как вертикальные)
- ∠OBE = ∠ODF (∠OBE = ∠EBC + ∠DBC = 60° + ∠DBC; ∠ODF = ∠FDA + ∠ADB = 60° + ∠ADB; ∠DBC = ∠ADB как накрест лежащие при пересечении BC∥AD и секущей BD)
⇒ △OBE ~ △ODF по I признаку подобия треугольников ⇒ BO/OD = BE/DF, но поскольку BE/DF = BC/AD, то BO/OD = BC/AD. По св-у диагоналей трапеции, диагонали делят друг друга на отрезки, пропорциональные её основаниям ⇒ O - точка пересечения диагоналей трапеции ⇒ EF проходит через точку пересечения диагоналей.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.
